Math  /  Algebra

Question11 Bei dem Reaktorunfall in Tschernobyl am 26. April 1986 wurde u.a. radioaktives Cäsium-137 freigesetzt. Cäsium-137 zerfällt exponentiell mit einer Halbwertszeit von ca. 30 Jahren. Über der damaligen Bundesrepublik Deutschland hatten sich nach Angaben der Gesellschaft für Strahlenund Umweltforschung etwa 230 Gramm radioaktives Cäsium-137 abgelagert, ein Großteil davon in Bayern. a) Beschreiben Sie den Zerfall dieser Menge Cäsium-137 durch eine Funktion f:tbektf: t \mapsto b \cdot e^{k t} ( tt in Jahren und f(t)f(t) in Gramm). b) Geben Sie die Bedeutung des Faktors b im Sachzusammenhang an und berechnen Sie den prozentualen Anteil, um den die Masse des Cäsium-137 jedes Jahr abnimmt. c) Berechnen Sie, nach welcher Zeit weniger als ein Gramm des Cäsium-137 übrig ist. d) Bestimmen Sie die Funktion der Wachstumsgeschwindigkeit für die gegebene Menge Cäsi-um-137. Berechnen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn und zum heutigen Zeitpunkt. Beschreiben Sie die Werte im Sachzusammenhang.

Studdy Solution
Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn (t=0 t = 0 ): f(0)=230k f'(0) = 230 \cdot k
Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit zum heutigen Zeitpunkt (t=20231986=37 t = 2023 - 1986 = 37 ): f(37)=230ke37k f'(37) = 230 \cdot k \cdot e^{37k}
Die Zerfallsfunktion ist: f(t)=230eln(12)30t f(t) = 230 \cdot e^{\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{30} \cdot t}
Der prozentuale Rückgang pro Jahr beträgt: (1eln(12)30)×100% (1 - e^{\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{30}}) \times 100\%
Die Zeit, bis weniger als ein Gramm übrig ist, beträgt: t>ln(1230)ln(12)30 t > \frac{\ln\left(\frac{1}{230}\right)}{\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{30}}
Die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn ist: 230ln(12)30 230 \cdot \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{30}
Die Wachstumsgeschwindigkeit zum heutigen Zeitpunkt ist: 230ln(12)30e37ln(12)30 230 \cdot \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{30} \cdot e^{37 \cdot \frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{30}}

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