Question2-30 Determine si la serie es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
3. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}}$
4. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4}$

Studdy Solution
Ahora, analizamos la convergencia condicional de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4}$.
Usamos la prueba de Leibniz para series alternantes. Verificamos:
1. $b_n = \frac{n}{n^{2}+4}$ es decreciente.
2. $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2}+4} = 0$.
Ambas condiciones se cumplen, por lo tanto, la serie es condicionalmente convergente.
La serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^{n}}$ es absolutamente convergente, y la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4}$ es condicionalmente convergente.