Question(22) Solve the following linear Diophantine equations: (i) $56 x+72 y=40$. (ii) $221 x+91 y=117$. (iii) $2378 x+1769 y=214$. (iv) $242 x+338 y=18$.

Studdy Solution
حدد الحلول العامة للمعادلة الأصلية $56x + 72y = 40$ باستخدام الحلول الأولية:
$$x = -4 + \frac{72}{8}t = -4 + 9t$$ $$y = 3 - \frac{56}{8}t = 3 - 7t$$
حيث $t$ هو عدد صحيح.
المعادلة (ii) $221x + 91y = 117$
STEP_1: تحقق من إمكانية الحل من خلال حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) لـ 221 و 91. يجب أن يقسم GCD العدد 117.
حساب GCD:
$$\text{GCD}(221, 91) = 13$$
تحقق مما إذا كان 13 يقسم 117:
$$117 \div 13 = 9$$
بما أن 13 يقسم 117، فإن الحل ممكن.
STEP_2: استخدم خوارزمية إقليدس الموسعة لإيجاد الحلول الأولية للمعادلة:
$$221x + 91y = 13$$
استخدم خوارزمية إقليدس الموسعة لإيجاد معاملات $x$ و $y$.
STEP_3: بعد تطبيق خوارزمية إقليدس الموسعة، نجد الحلول الأولية:
$$x_0 = -4, \quad y_0 = 10$$
للمعادلة:
$$221(-4) + 91(10) = 13$$
STEP_4: حدد الحلول العامة للمعادلة الأصلية $221x + 91y = 117$ باستخدام الحلول الأولية:
$$x = -4 + \frac{91}{13}t = -4 + 7t$$ $$y = 10 - \frac{221}{13}t = 10 - 17t$$
حيث $t$ هو عدد صحيح.
المعادلة (iii) $2378x + 1769y = 214$
STEP_1: تحقق من إمكانية الحل من خلال حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) لـ 2378 و 1769. يجب أن يقسم GCD العدد 214.
حساب GCD:
$$\text{GCD}(2378, 1769) = 1$$
تحقق مما إذا كان 1 يقسم 214:
بما أن 1 يقسم 214، فإن الحل ممكن.
STEP_2: استخدم خوارزمية إقليدس الموسعة لإيجاد الحلول الأولية للمعادلة:
$$2378x + 1769y = 1$$
استخدم خوارزمية إقليدس الموسعة لإيجاد معاملات $x$ و $y$.
STEP_3: بعد تطبيق خوارزمية إقليدس الموسعة، نجد الحلول الأولية:
$$x_0 = -271, \quad y_0 = 364$$
للمعادلة:
$$2378(-271) + 1769(364) = 1$$
STEP_4: حدد الحلول العامة للمعادلة الأصلية $2378x + 1769y = 214$ باستخدام الحلول الأولية:
$$x = -271 \times 214 + \frac{1769}{1}t$$ $$y = 364 \times 214 - \frac{2378}{1}t$$
حيث $t$ هو عدد صحيح.
المعادلة (iv) $242x + 338y = 18$
STEP_1: تحقق من إمكانية الحل من خلال حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) لـ 242 و 338. يجب أن يقسم GCD العدد 18.
حساب GCD:
$$\text{GCD}(242, 338) = 2$$
تحقق مما إذا كان 2 يقسم 18:
$$18 \div 2 = 9$$
بما أن 2 يقسم 18، فإن الحل ممكن.
STEP_2: استخدم خوارزمية إقليدس الموسعة لإيجاد الحلول الأولية للمعادلة:
$$242x + 338y = 2$$
استخدم خوارزمية إقليدس الموسعة لإيجاد معاملات $x$ و $y$.
STEP_3: بعد تطبيق خوارزمية إقليدس الموسعة، نجد الحلول الأولية:
$$x_0 = 7, \quad y_0 = -5$$
للمعادلة:
$$242(7) + 338(-5) = 2$$
STEP_4: حدد الحلول العامة للمعادلة الأصلية $242x + 338y = 18$ باستخدام الحلول الأولية:
$$x = 7 \times 9 + \frac{338}{2}t = 63 + 169t$$ $$y = -5 \times 9 - \frac{242}{2}t = -45 - 121t$$
حيث $t$ هو عدد صحيح.