Math  /  Calculus

Question57-63 Calcule los valores de xx para los cuales la serie converge. Determine la suma de la serie para dichos valores de xx.
57. n=1(5)nxn\sum_{n=1}^{\infty}(-5)^{n} x^{n}
58. n=1(x+2)n\sum_{n=1}^{\infty}(x+2)^{n}

Studdy Solution
Calcular la suma de la serie para los valores de x x dentro del intervalo de convergencia:
La suma de una serie geométrica es a1r\frac{a}{1-r}, donde a a es el primer término de la serie.
El primer término a a es (5)x(-5)x cuando n=1 n=1 .
La suma es:
S=(5)x1(5)x=(5)x1+5x S = \frac{(-5)x}{1 - (-5)x} = \frac{(-5)x}{1 + 5x}
**Problema 58:**
STEP_1: Identificar la razón común de la serie:
La serie dada es n=1(x+2)n\sum_{n=1}^{\infty}(x+2)^{n}.
La razón común r r es (x+2) (x+2) .
STEP_2: Determinar el intervalo de convergencia para la serie:
Para que la serie converja, necesitamos que r<1|r| < 1.
x+2<1 |x+2| < 1
Esto se puede resolver como una desigualdad compuesta:
1<x+2<1 -1 < x+2 < 1
Restando 2 de cada parte:
3<x<1 -3 < x < -1
Esto significa que la serie converge para 3<x<1-3 < x < -1.
STEP_3: Calcular la suma de la serie para los valores de x x dentro del intervalo de convergencia:
La suma de una serie geométrica es a1r\frac{a}{1-r}, donde a a es el primer término de la serie.
El primer término a a es (x+2)(x+2) cuando n=1 n=1 .
La suma es:
S=(x+2)1(x+2)=(x+2)x1 S = \frac{(x+2)}{1 - (x+2)} = \frac{(x+2)}{-x-1}
La solución para el problema 57 es que la serie converge para 15<x<15-\frac{1}{5} < x < \frac{1}{5} y la suma es (5)x1+5x\frac{(-5)x}{1 + 5x}.
La solución para el problema 58 es que la serie converge para 3<x<1-3 < x < -1 y la suma es (x+2)x1\frac{(x+2)}{-x-1}.

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