Math  /  Calculus

QuestionConsidérons la fonction numérique ff de la variable réelle xx définie sur R\mathbb{R} par: f(x)=12x2+3f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+3}
1. a) Montrer que: f(x)=x2x2+3f^{\prime}(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+3}} pour tout x0x \geq 0, puis dresser le tableau de variations de la fonction ff sur R\mathbb{R}. a) Montrer que : f([0;1][0;1[f([0 ; 1] \subset[0 ; 1[.
2. a) Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation (E):f(x)=x(E): f(x)=x. b) Montrer que : f(x)>xf(x)>x pour tout élément xx de l'intervalle [0;1[[0 ; 1[.
3. On considère la suite (Un)\left(U_{n}\right) définie par : U0=0U_{0}=0 et Un+1=f(Un)U_{n+1}=f\left(U_{n}\right) pour tout entier naturel nn. 3.1. Montrer par récurrence que : 0Un<10 \leq U_{n}<1 pour tout entier naturel nn. 3.2. Etudier le sens de variations de la suite (Un)\left(U_{n}\right). 3.3. Montrer que la suite (Un)\left(U_{n}\right) est convergente et déterminer sa limite.

Studdy Solution
La suite (Un)(U_n) est croissante, majorée par 1, et converge vers 1\textbf{1}.

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