QuestionExer. 21-24: Use polar coordinates to find the limit, if it exists. $21 \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ $22 \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}$ $23 \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ $24 \lim _{(4, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sinh \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}$

Studdy Solution
إيجاد النهاية عندما $r \rightarrow 0$:
$$\lim_{r \to 0} r \cos(\theta) \sin^2(\theta) = 0$$
النهاية هي:
$$\boxed{0}$$
### المسألة 22:
STEP_1: نبدأ بتحويل التعبير $\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}$ إلى إحداثيات قطبية.
$$x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta)$$
STEP_2: استبدال $x$ و $y$ في التعبير:
$$\frac{(r \cos(\theta))^3 - (r \sin(\theta))^3}{r^2 (\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta))}$$
STEP_3: تبسيط التعبير:
$$\frac{r^3 \cos^3(\theta) - r^3 \sin^3(\theta)}{r^2}$$
$$= r (\cos^3(\theta) - \sin^3(\theta))$$
STEP_4: إيجاد النهاية عندما $r \rightarrow 0$:
$$\lim_{r \to 0} r (\cos^3(\theta) - \sin^3(\theta)) = 0$$
النهاية هي:
$$\boxed{0}$$
### المسألة 23:
STEP_1: نبدأ بتحويل التعبير $\frac{x^{2}+y^{2}}{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ إلى إحداثيات قطبية.
$$x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta)$$
STEP_2: استبدال $x$ و $y$ في التعبير:
$$\frac{r^2}{\sin(r^2)}$$
STEP_3: إيجاد النهاية عندما $r \rightarrow 0$:
$$\lim_{r \to 0} \frac{r^2}{\sin(r^2)} = 1$$
(باستخدام حقيقة أن $\lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin(u)} = 1$)
النهاية هي:
$$\boxed{1}$$
### المسألة 24:
STEP_1: نبدأ بتحويل التعبير $\frac{\sinh \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ إلى إحداثيات قطبية.
$$x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta)$$
STEP_2: استبدال $x$ و $y$ في التعبير:
$$\frac{\sinh(r^2)}{r^2}$$
STEP_3: إيجاد النهاية عندما $r \rightarrow 0$:
$$\lim_{r \to 0} \frac{\sinh(r^2)}{r^2} = 1$$
(باستخدام حقيقة أن $\lim_{u \to 0} \frac{\sinh(u)}{u} = 1$)
النهاية هي:
$$\boxed{1}$$