Math  /  Calculus

QuestionExercice n1\mathrm{n}^{\circ} \mathbf{1} : On donne la représentation graphique d'une fonction f ainsi que les éventuelles droites asymptotes. En déduire : 11^{\circ} ) Sur quel intervalle f est définie ; 22^{\circ} ) Les limites aux bornes de l'ensemble de définition. 33^{\circ} ) Le tableau de variation de f
Exercice n2\mathrm{n}^{\circ} 2 Déterminer les limites suivantes 1) limx+7x2+2x15x2+7x+5\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{7 x^{2}+2 x-1}{5 x^{2}+7 x+5} 2) limx1x22x+11x\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2 x+1}{1-x} 3) limx1x<15x+45x27x+2\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} \frac{5 x+4}{5 x^{2}-7 x+2} 4) limx+xsinx\lim _{x \rightarrow+\infty} x-\sin x 5) limx+cosx+sinxx2\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\cos x+\sin x}{x^{2}}
Exercice n3\mathrm{n}^{\circ} 3 Soit f une fonction définie sur IR \{12}\backslash\left\{\frac{1}{2}\right\} \quad par f(x)=2x+52x1f(x)=\frac{2 x+5}{2 x-1} 11^{\circ} ) Calculer les limites de f(x)f(x) aux bornes de son ensemble de définition et interpréter graphiquement les résultats 22^{\circ} ) Justifier que ff est dérivable sur DD et exprimer f(x)f^{\prime}(x) pour tout réel xx de DD. 33^{\circ} ) En déduire le tableau de variations de la fonction ff sur DD. 4)\left.4^{*}\right) Etudier la position relative de la courbe de f par rapport à son asymptote horizontale.

Studdy Solution
Calculer la limite limx+cosx+sinxx2\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos x + \sin x}{x^2}.
Puisque cosx\cos x et sinx\sin x sont bornées, le numérateur est borné et le dénominateur tend vers ++\infty, donc :
limx+cosx+sinxx2=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos x + \sin x}{x^2} = 0
La solution est maintenant complète pour l'exercice 2. Passons à l'exercice 3.
_HIGH_LEVEL_APPROACH_:
1. Calculer les limites de f(x) f(x) aux bornes de son ensemble de définition.
2. Justifier la dérivabilité de f f et exprimer f(x) f'(x) .
3. Construire le tableau de variations de f f .
4. Étudier la position relative de la courbe de f f par rapport à son asymptote horizontale.

STEP_1: Calculer les limites de f(x)=2x+52x1 f(x) = \frac{2x + 5}{2x - 1} aux bornes de son ensemble de définition.
limx12f(x)=etlimx12+f(x)=+\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} f(x) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x) = +\infty
limxf(x)=1etlimx+f(x)=1\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1
STEP_2: Justifier que f f est dérivable sur D D et exprimer f(x) f'(x) .
La fonction est dérivable sur R{12} \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\} . Calculer la dérivée :
f(x)=(2)(2x1)(2x+5)(2)(2x1)2=12(2x1)2f'(x) = \frac{(2)(2x - 1) - (2x + 5)(2)}{(2x - 1)^2} = \frac{-12}{(2x - 1)^2}
STEP_3: Construire le tableau de variations de f f sur D D .
La dérivée f(x)=12(2x1)2 f'(x) = \frac{-12}{(2x - 1)^2} est toujours négative, donc f f est décroissante sur chaque intervalle de D D .
STEP_4: Étudier la position relative de la courbe de f f par rapport à son asymptote horizontale y=1 y = 1 .
La fonction tend vers y=1 y = 1 lorsque x± x \to \pm\infty , donc la courbe de f f est asymptotiquement proche de la droite y=1 y = 1 .
La solution est maintenant complète pour l'exercice 3.

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