QuestionExercise 3. Compute the following integrals by substitution: (a) $\int \frac{1}{\sqrt{4-x}} d x$ (g) $\int \sin ^{7}(x) \cos (x) d x$ (b) $\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}+1}} d x$ (h) $\int \frac{e^{x} \tan \left(e^{x}\right)}{\cos ^{2}\left(e^{x}\right)} d x$ (c) $\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}+1}} d x$ (i) $\int \sin (2 x)\left(1+\cos ^{2}(x)\right) d x$ (d) $\int \frac{1}{x \log (x)} d x$ (j) $\int \frac{\sin (x)}{2+\cos (x)} d x$ (e) $\int \frac{\log ^{3}(x)+3 \log (x)-\sqrt{2}}{x} d x$ (k) $\int \frac{x}{1+x^{4}} d x$ (f) $\int \frac{\sin (2+\sqrt{x})}{3 \sqrt{x}} d x$

Studdy Solution
1. Scegliere una sostituzione appropriata per ogni integrale.
2. Calcolare l'integrale usando la sostituzione.
3. Tornare alla variabile originale, se necessario.
STEP_1a: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (a) $\int \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = 4 - x$. Quindi $du = -dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2a: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, (-du) = -\int u^{-\frac{1}{2}} \, du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$-\int u^{-\frac{1}{2}} \, du = -2u^{\frac{1}{2}} + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3a: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$-2(4-x)^{\frac{1}{2}} + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1g: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (g) $\int \sin^{7}(x) \cos(x) \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = \sin(x)$. Quindi $du = \cos(x) \, dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2g: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$\int u^{7} \, du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$\frac{u^{8}}{8} + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3g: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$\frac{\sin^{8}(x)}{8} + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1b: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (b) $\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}+1}} \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = \sqrt{e^{x} + 1}$. Quindi $u^2 = e^{x} + 1$ e $2u \, du = e^{x} \, dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2b: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$\int \frac{2u \, du}{u} = 2 \int du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$2u + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3b: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$2\sqrt{e^{x} + 1} + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1h: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (h) $\int \frac{e^{x} \tan(e^{x})}{\cos^{2}(e^{x})} \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = e^{x}$. Quindi $du = e^{x} \, dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2h: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$\int \frac{\tan(u)}{\cos^{2}(u)} \, du = \int \sec^{2}(u) \tan(u) \, du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$\int \sec^{2}(u) \tan(u) \, du = \frac{\sec^{2}(u)}{2} + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3h: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$\frac{\sec^{2}(e^{x})}{2} + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1c: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (c) $\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}+1}} \, dx$, la sostituzione è la stessa di (b), quindi $u = \sqrt{e^{x} + 1}$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2c: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo lo stesso integrale di (b):
$$2 \int du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$2u + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3c: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$2\sqrt{e^{x} + 1} + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1i: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (i) $\int \sin(2x)(1+\cos^{2}(x)) \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = \cos(x)$. Quindi $du = -\sin(x) \, dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2i: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$\int -2\sin^{2}(x)(1+u^{2}) \, du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$-2 \int (1-u^{2}) \, du = -2(u - \frac{u^{3}}{3}) + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3i: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$-2(\cos(x) - \frac{\cos^{3}(x)}{3}) + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1d: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (d) $\int \frac{1}{x \log(x)} \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = \log(x)$. Quindi $du = \frac{1}{x} \, dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2d: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$\int \frac{1}{u} \, du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$\log|u| + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3d: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$\log|\log(x)| + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1j: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (j) $\int \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)} \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = 2 + \cos(x)$. Quindi $du = -\sin(x) \, dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2j: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$-\int \frac{1}{u} \, du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$-\log|u| + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3j: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$-\log|2+\cos(x)| + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1e: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (e) $\int \frac{\log^{3}(x)+3\log(x)-\sqrt{2}}{x} \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = \log(x)$. Quindi $du = \frac{1}{x} \, dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2e: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$\int (u^{3} + 3u - \sqrt{2}) \, du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$\frac{u^{4}}{4} + \frac{3u^{2}}{2} - \sqrt{2}u + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3e: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$\frac{\log^{4}(x)}{4} + \frac{3\log^{2}(x)}{2} - \sqrt{2}\log(x) + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1k: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (k) $\int \frac{x}{1+x^{4}} \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = x^{2}$. Quindi $du = 2x \, dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2k: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+u^{2}} \, du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$\frac{1}{2} \tan^{-1}(u) + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3k: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$\frac{1}{2} \tan^{-1}(x^{2}) + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_1f: High_Level_Step: 1 Per l'integrale (f) $\int \frac{\sin(2+\sqrt{x})}{3\sqrt{x}} \, dx$, scegliamo la sostituzione $u = 2+\sqrt{x}$. Quindi $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$.
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_2f: High_Level_Step: 2 Sostituendo, otteniamo:
$$\frac{2}{3} \int \sin(u) \, du$$
Calcoliamo l'integrale:
$$-\frac{2}{3} \cos(u) + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE
STEP_3f: High_Level_Step: 3 Ritorniamo alla variabile originale:
$$-\frac{2}{3} \cos(2+\sqrt{x}) + C$$
High_Level_Step_Completed: TRUE