Question```latex \text{Flüssigkeiten bei einem Produktionsprozess} \\ \text{In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt und anschließend abgekühlt. Der Temperaturverlauf kann gezielt gesteuert werden, sodass er sich für den gesamten Erhitzungs- bzw. Abkühlungsvorgang für } t \geq 0 \text{ durch eine der in } \mathbb{R} \text{ definierten Funktionen } f_{k} \text{ mit } f_{k}(t)=23+20 \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{10} \cdot k \cdot t}, \text{ wobei } k \text{ eine positive, reelle Zahl sein soll, beschreiben lässt. Dabei ist } t \text{ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und } f_{k}(t) \text{ die Temperatur in } { }^{\circ} C. \\ \text{a) Die in Abbildung 1 dargestellten Graphen } A, B \text{ und } C \text{ gehören jeweils zu einem der Werte } k=0,5 ; k=2 \text{ und } k=5. \text{ Ordnen Sie jedem dieser Werte den zugehörigen Graphen zu.} \\ \text{b) Begründen Sie, dass der in Abbildung 1 dargestellte Graph } D \text{ nicht zu einer der Funktionen } f_{k} \text{ gehören kann.} \\ \text{c) Zeigen Sie, dass gilt} \\ f_{k}^{\prime}(t)=20 \cdot e^{-\frac{1}{10} \cdot k \cdot t} \cdot\left(1-\frac{1}{10} \cdot k \cdot t\right) \\ \text{d) Ermitteln Sie denjenigen Wert von } k, \text{ für den die Flüssigkeit im Modell eine Höchsttemperatur von } 123^{\circ} \mathrm{C} \text{ erreicht.} \\ \text{e) Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von } f_{10}. \text{ Interpretieren Sie anschließend die Bedeutung der x-Koordinate dieses Wendepunkts des Graphen von } f_{10} \text{ im Sachzusammenhang.} ```