Math  /  Algebra

QuestionLes questions sont indépendantes . 1 Montrer que : zC,ezez\forall z \in \mathbb{C},\left|e^{z}\right| \leq e^{|z|}, étudier le cas d'égalité. 2 Si ZZ est un complexe non nul , montrer que les images des solutions complexes de l'équation ez=Ze^{z}=Z sont des points alignés.
3 Montrer que si a,b,ca, b, c sont des complexes de module 1 alors ab+bc+ca=a+b+c|a b+b c+c a|=|a+b+c|. 4 Soit (n,m)N2(n, m) \in \mathbb{N}^{* 2}. Montrer que UmUnm\mathbb{U}_{m} \subset \mathbb{U}_{n} \Leftrightarrow m divise nn 5 Si nn est impaire, montrer que Un=Vn\mathbb{U}_{n}=\mathbb{V}_{n}Vm={z2/zUn}\mathbb{V}_{m}=\left\{z^{2} / z \in \mathbb{U}_{n}\right\} 6a,b6 a, b sont des complexes distincts de module 1 et zCz \in \mathbb{C}. On pose u=z+abzˉabbau=\frac{z+a b \bar{z}-a-b}{b-a}. Montrer que u2u^{2} est un réel négatif . 7 Résoudre le système {z1=z2Arg(z+i)Arg(z1)[2π]\left\{\begin{array}{l}|z-1|=|z-2| \\ \operatorname{Arg}(z+i) \equiv \operatorname{Arg}(z-1)[2 \pi]\end{array}\right.. Interpréter la solution géométriquement.

Studdy Solution
Solve the system:
1. z1=z2|z-1| = |z-2| implies zz lies on the perpendicular bisector of the segment joining 1 and 2, which is the vertical line x=1.5x = 1.5.
2. Arg(z+i)Arg(z1)[2π]\operatorname{Arg}(z+i) \equiv \operatorname{Arg}(z-1)[2\pi] implies zz lies on a line through i-i and 1.
Find the intersection of these geometric loci to solve for zz.

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