QuestionQ. Let $f(z)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{z^{3}}{z^{2}} & \text { if } z \neq 0 \\ 0 & \text { if } z=0\end{array}\right.$ (1) $f(z)$ is Continuous everywhere on $\mathbb{C}$ (2) the Gmplex derivativ $f^{\prime}(0)$ das notexis

Studdy Solution
التحقق من الاتجاهات المختلفة:
إذا أخذنا $z = re^{i\theta}$ حيث $r \to 0$، فإن:
$$f'(0) = \lim_{r \to 0} \frac{re^{i\theta}}{re^{i\theta}} = \lim_{r \to 0} 1 = 1$$
لكن هذا لا يعتمد على $\theta$، مما يعني أن المشتقة المركبة غير موجودة بشكل عام.
الدالة $f(z)$ متصلة في كل مكان على $\mathbb{C}$، لكن المشتقة المركبة $f'(0)$ لا توجد.