Math  /  Discrete

QuestionQ1.1) How many four letter "words" can be made from the letters a, b, c and d with no letters repeating? A "word" is just an ordered group of letters. It doesn't have to be a real word in a dictionary. \qquad \qquad \qquad Q1.2) How many three letter "words" can be made from the letters a, b, c and d with no letters repeating? A "word" is just an ordered group of letters. It doesn't have to be a real word in a dictionary. \qquad \qquad \qquad \qquad Q2) You are opening a T-shirt store. You can have long sleeves or short sleeves, three different colors, five different designs, and four different sizes. How many different shirts can you make? \qquad \qquad \qquad \qquad Q3) A bag contains 2 green pens, 3 black pens and 4 red pens. In how many ways can 3 pens be selected from the bag without replacement, if at least one black pen is to be included in the selection? ( 2 points) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad Q4.1) A president, a vice-president, and an assistant are to be chosen from a group of 20 members. How many different ways can you do this? \qquad \qquad \qquad

Studdy Solution
Multiplizieren Sie die Möglichkeiten:
4×3×2×1=24 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
Die Anzahl der vier Buchstaben "Wörter" ist:
24 \boxed{24}
_HIGH_LEVEL_APPROACH_ für Q1.2:
1. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, den ersten Buchstaben zu wählen.
2. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, den zweiten Buchstaben zu wählen.
3. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, den dritten Buchstaben zu wählen.
4. Multiplizieren Sie die Möglichkeiten, um die Gesamtanzahl der "Wörter" zu erhalten.

STEP_1: Für den ersten Buchstaben gibt es 4 Möglichkeiten (a, b, c, d).
STEP_2: Für den zweiten Buchstaben gibt es 3 verbleibende Möglichkeiten.
STEP_3: Für den dritten Buchstaben gibt es 2 verbleibende Möglichkeiten.
STEP_4: Multiplizieren Sie die Möglichkeiten:
4×3×2=24 4 \times 3 \times 2 = 24
Die Anzahl der drei Buchstaben "Wörter" ist:
24 \boxed{24}
_HIGH_LEVEL_APPROACH_ für Q2:
1. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten für die Ärmellänge.
2. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten für die Farben.
3. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten für die Designs.
4. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten für die Größen.
5. Multiplizieren Sie die Möglichkeiten, um die Gesamtanzahl der T-Shirts zu erhalten.

STEP_1: Es gibt 2 Möglichkeiten für die Ärmellänge (lang oder kurz).
STEP_2: Es gibt 3 Möglichkeiten für die Farben.
STEP_3: Es gibt 5 Möglichkeiten für die Designs.
STEP_4: Es gibt 4 Möglichkeiten für die Größen.
STEP_5: Multiplizieren Sie die Möglichkeiten:
2×3×5×4=120 2 \times 3 \times 5 \times 4 = 120
Die Anzahl der verschiedenen T-Shirts ist:
120 \boxed{120}
_HIGH_LEVEL_APPROACH_ für Q3:
1. Berechnen Sie die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 3 Stifte auszuwählen.
2. Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Stifte ohne schwarze Stifte auszuwählen.
3. Subtrahieren Sie die Anzahl der Möglichkeiten ohne schwarze Stifte von der Gesamtanzahl.

STEP_1: Berechnen Sie die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 3 Stifte auszuwählen:
(93)=84\binom{9}{3} = 84
STEP_2: Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Stifte ohne schwarze Stifte auszuwählen (nur grüne und rote Stifte):
(63)=20\binom{6}{3} = 20
STEP_3: Subtrahieren Sie die Anzahl der Möglichkeiten ohne schwarze Stifte von der Gesamtanzahl:
8420=6484 - 20 = 64
Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Stifte mit mindestens einem schwarzen Stift auszuwählen, ist:
64 \boxed{64}
_HIGH_LEVEL_APPROACH_ für Q4.1:
1. Wählen Sie den Präsidenten aus der Gruppe.
2. Wählen Sie den Vizepräsidenten aus der verbleibenden Gruppe.
3. Wählen Sie den Assistenten aus der verbleibenden Gruppe.
4. Multiplizieren Sie die Möglichkeiten, um die Gesamtanzahl der Kombinationen zu erhalten.

STEP_1: Wählen Sie den Präsidenten aus 20 Mitgliedern:
20 20
STEP_2: Wählen Sie den Vizepräsidenten aus den verbleibenden 19 Mitgliedern:
19 19
STEP_3: Wählen Sie den Assistenten aus den verbleibenden 18 Mitgliedern:
18 18
STEP_4: Multiplizieren Sie die Möglichkeiten:
20×19×18=6840 20 \times 19 \times 18 = 6840
Die Anzahl der Möglichkeiten, einen Präsidenten, einen Vizepräsidenten und einen Assistenten zu wählen, ist:
6840 \boxed{6840}

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