QuestionQuestion 5 (15 points) a. On pose le probleme d'optimisation suivant: $$\min _{x, y} x^{2}+y^{2} \text { t.q. } x+p y=1, \quad p \neq 0$$
Formez le Lagrangien et trouvez le point stationnaire. Est-ce que les conditions du second ordre sont satisfaites? Calculez le minimum $m^{*}$ atteint.

Studdy Solution
Calculer le minimum $m^*$ atteint en substituant $x$ et $y$ dans la fonction objectif:
$$m^* = x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{1 + p^2}\right)^2 + \left(\frac{p}{1 + p^2}\right)^2$$
$$m^* = \frac{1}{(1 + p^2)^2} + \frac{p^2}{(1 + p^2)^2}$$
$$m^* = \frac{1 + p^2}{(1 + p^2)^2}$$
$$m^* = \frac{1}{1 + p^2}$$
La valeur minimale atteinte est:
$$m^* = \frac{1}{1 + p^2}$$