Math  /  Calculus

QuestionRéflexion
EXERCICE 1: CoTon
L'entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur xx exprimée en kilomètre, xx étant compris entre Oet10. Le coût total de production en euros de l'entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur xx par la formule : C(x)=15x3120x2+500x+750C(x)=15 x^{3}-120 x^{2}+500 x+750
Le graphique ci-contre donne la représentation graphique de la fonction C\mathbf{C}.
Partie A: Étude du bénéfice Si le marché offre un prix pp en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l'entreprise CoTon pour la vente d'une quantité xx est égal à R(x)=pxR(x)=p x.
1. Tracer sur le graphique la droite D1D_{1} d'équation : y=400xy=400 x. Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l'entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix pp du marché est égal à 400 euros.
2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros. Tracer sur le graphique la droite D2D_{2} d'équation : y=680xy=680 x. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique pour quelles quantités produites et vendues, l'entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix pp du marché est de 680 euros.
3. On considère la fonction BB définie sur l'intervalle [0;10][0 ; 10] par: B(x)=680xC(x)B(x)=680 x-C(x) Démontrer que pour tout xx appartenant à l'intervalle [0;10][0 ; 10], on a : B(x)=45x2+240x+180B^{\prime}(x)=-45 x^{2}+240 x+180
4. Étudier les variations de la fonction B sur [0;10][0 ; 10]. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l'entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.

Partie B: Étude du coût moyen On rappelle que le coût moyen de production CMC M mesure le coût par unité produite. On considère la fonction CMC M définie sur l'intervalle [0;10] par : CM(x)=C(x)xC M(x)=\frac{C(x)}{x}
1. Démontrer que pour tout xx appartenant à l'intervalle [0;10][0 ; 10], CM(x)=30(x5)(x2+x+5)x2C M^{\prime}(x)=\frac{30(x-5)\left(x^{2}+x+5\right)}{x^{2}}
2. Montrer que pour tout x[0;10]x \in[0 ; 10] le signe de CM(x)C M^{\prime}(x) est le même que celui de " (x5)(x-5) "
3. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum? Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total?

Studdy Solution
Déterminer pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est minimum.
- Trouver la valeur de x x pour laquelle CM(x)=0 CM'(x) = 0 et vérifier le signe autour de cette valeur. - Calculer le coût moyen de production minimum et le coût total correspondant.

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