Question1. 12 donuts and 3 muffins were laid out on 5 plates in such a way that there are three cakes on each plate. a) Calculate the probability that there is a plate with at least two muffins on it. b) Assume that each muffin is on a different plate. From a randomly chosen plate we move one randomly chosen cake to a different plate. Calculate the probability that after this move, each muffin will still be on a different plate. c) Calculate the expected value of the number of muffins on the second plate.
Studdy Solution
STEP 1
Założenia
1. Mamy łącznie 12 pączków i 3 muffinki.
2. Wszystkie ciastka są rozłożone na 5 talerzach.
3. Na każdym talerzu znajdują się dokładnie 3 ciastka.
4. Musimy obliczyć prawdopodobieństwa i wartość oczekiwaną zgodnie z podanymi podpunktami.
STEP 2
Zacznijmy od podpunktu a). Musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że na jednym z talerzy znajdują się co najmniej dwie muffinki.
STEP 3
Obliczmy całkowitą liczbę możliwych sposobów rozłożenia 3 muffinek na 5 talerzach. Każda muffinka może być umieszczona na jednym z 5 talerzy, więc mamy:
możliwych sposobów.
STEP 4
Obliczmy liczbę sposobów, w których co najmniej jedna z muffinek znajduje się na talerzu z inną muffinką. Możemy to zrobić, odejmując liczbę sposobów, w których każda muffinka jest na innym talerzu, od całkowitej liczby sposobów.
STEP 5
Obliczmy liczbę sposobów, w których każda muffinka jest na innym talerzu. Wybieramy 3 talerze z 5 dla muffinek, co daje:
sposobów.
STEP 6
Liczba sposobów, w których co najmniej jedna muffinka jest na talerzu z inną muffinką, to:
STEP 7
Obliczmy prawdopodobieństwo, że na jednym z talerzy znajdują się co najmniej dwie muffinki:
STEP 8
Przejdźmy do podpunktu b). Zakładamy, że każda muffinka jest na innym talerzu. Wybieramy losowo jeden talerz i przenosimy jedno losowe ciastko na inny talerz. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że po tym ruchu każda muffinka nadal będzie na innym talerzu.
STEP 9
Ponieważ każda muffinka jest na innym talerzu, oznacza to, że na każdym z 3 talerzy z muffinką są 2 pączki. Wybieramy jeden z 5 talerzy do przeniesienia ciastka.
STEP 10
Jeśli wybierzemy talerz z muffinką, mamy 2 pączki do wyboru, które możemy przenieść. Jeśli wybierzemy talerz bez muffinki, mamy 3 pączki do wyboru.
STEP 11
Obliczmy prawdopodobieństwo, że wybierzemy talerz z muffinką i przeniesiemy pączka. Wybieramy 3 talerze z muffinką z 5 talerzy, a następnie wybieramy 1 z 2 pączków do przeniesienia:
STEP 12
Prawdopodobieństwo, że wybierzemy talerz z muffinką i przeniesiemy pączka, to:
STEP 13
Prawdopodobieństwo, że wybierzemy talerz bez muffinki, to:
STEP 14
Całkowite prawdopodobieństwo, że po przeniesieniu ciastka każda muffinka nadal będzie na innym talerzu, to suma prawdopodobieństw z kroków 12 i 13:
STEP 15
Przejdźmy do podpunktu c). Musimy obliczyć wartość oczekiwaną liczby muffinek na drugim talerzu.
STEP 16
Załóżmy, że talerze są numerowane od 1 do 5. Każda muffinka jest losowo przypisana do jednego z 5 talerzy.
STEP 17
Obliczmy prawdopodobieństwo, że dana muffinka znajduje się na drugim talerzu. Ponieważ każda muffinka jest przypisana losowo, prawdopodobieństwo to wynosi:
STEP 18
Ponieważ mamy 3 muffinki, wartość oczekiwana liczby muffinek na drugim talerzu to suma prawdopodobieństw dla każdej muffinki:
STEP 19
Podsumowanie wyników:
a) Prawdopodobieństwo, że na jednym z talerzy znajdują się co najmniej dwie muffinki, wynosi .
b) Prawdopodobieństwo, że po przeniesieniu ciastka każda muffinka nadal będzie na innym talerzu, wynosi .
c) Wartość oczekiwana liczby muffinek na drugim talerzu wynosi .
Was this helpful?