Question```latex \begin{enumerate} \item[(A)] Aus einem Beutel mit zwölf 0,50 € Münzen, fünf 1 € Münzen und 82 2 € Münzen nimmt man zwei Münzen. Berechnen Sie den durchschnittlichen Geldbetrag, den man herausziehen wird, und die Standardabweichung der Geldbeträge. \item[(B)] Benennen Sie weitere Zufallsgrößen, die zu diesem Experiment passen könnten. \end{enumerate}
Studdy Solution
STEP 1
Was ist die Frage? Wir wollen den durchschnittlichen Wert und die Standardabweichung berechnen, wenn wir zwei Münzen aus einem Beutel mit verschiedenen Münzwerten ziehen. Vorsicht! Nicht vergessen, dass wir *zwei* Münzen ziehen und es verschiedene Kombinationen gibt!
STEP 2
1. Wahrscheinlichkeiten berechnen
2. Erwartungswert berechnen
3. Varianz und Standardabweichung berechnen
4. Weitere Zufallsgrößen
STEP 3
Insgesamt haben wir Münzen.
Das ist unsere **Gesamtzahl**.
STEP 4
Die Wahrscheinlichkeit, eine Münze zu ziehen ist .
Für eine Münze ist es und für eine Münze .
Das sind unsere **Einzelwahrscheinlichkeiten**.
STEP 5
Jetzt schauen wir uns die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Kombinationen von zwei Münzen an.
Zum Beispiel, die Wahrscheinlichkeit zwei Münzen zu ziehen ist .
Wir multiplizieren mit , weil nach dem Ziehen der ersten Münze nur noch 11 von 98 Münzen Münzen sind.
Dasselbe machen wir für alle anderen Kombinationen.
STEP 6
Der **Erwartungswert** ist der durchschnittliche Geldbetrag, den wir erwarten können.
Wir berechnen ihn, indem wir jeden möglichen Geldbetrag mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alles aufsummieren.
Zum Beispiel: Zwei Münzen ergeben .
Die Wahrscheinlichkeit dafür haben wir schon berechnet.
Also multiplizieren wir mit der Wahrscheinlichkeit für zwei Münzen.
STEP 7
Das machen wir für alle Kombinationen: und , und , und , und , und und .
Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berechnen wir wie im vorherigen Schritt.
Am Ende addieren wir alle Ergebnisse.
STEP 8
Die **Varianz** misst die Streuung der möglichen Ergebnisse um den Erwartungswert.
Für jede Kombination berechnen wir die quadrierte Differenz zwischen dem Ergebnis (z.B. für zwei Münzen) und dem Erwartungswert.
Das multiplizieren wir mit der Wahrscheinlichkeit dieser Kombination.
STEP 9
Wir summieren alle diese Werte und erhalten die Varianz.
Die **Standardabweichung** ist einfach die Wurzel aus der Varianz.
STEP 10
Neben dem Geldbetrag könnten wir auch andere Zufallsgrößen betrachten, zum Beispiel die Anzahl der Münzen, die wir ziehen, oder ob wir mindestens eine Münze gezogen haben.
STEP 11
Der Erwartungswert, also der durchschnittliche Geldbetrag, den man zieht, beträgt .
Die Standardabweichung ist .
Weitere Zufallsgrößen könnten die Anzahl der gezogenen 2-Euro-Münzen oder das Verhältnis von 1-Euro- zu 0,50-Euro-Münzen sein.
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