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Math  /  Calculus

Question1- Calcule a integral iterada: a) ∫1312∫0π∫01zx2cos⁡(xy)dzdydx\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} z x^{2} \cos (x y) d z d y d x (2,5 valores)

Studdy Solution

STEP 1

O que isso está pedindo? Calcular uma integral tripla, ou seja, o volume de uma região tridimensional definida por uma função.
Basicamente, estamos somando um monte de pedacinhos infinitesimais para encontrar um valor total. Cuidado! Lembre-se da ordem de integração!
Integramos de "dentro" para "fora", respeitando os limites de integração para cada variável.
Não se esqueça de aplicar as regras de integração corretamente para cada variável.

STEP 2

1. Integrar em relação a zz.
2. Integrar em relação a yy.
3. Integrar em relação a xx.

STEP 3

Vamos começar integrando a função em relação a zz, tratando xx e yy como constantes.
A integral de zz em relação a zz é z22\frac{z^2}{2}.
Aplicando os limites de integração de 0 a 1, temos:
∫01zx2cos⁡(xy)dz=x2cos⁡(xy)∫01zdz=x2cos⁡(xy)[z22]01 \int_{0}^{1} zx^2 \cos(xy) dz = x^2 \cos(xy) \int_{0}^{1} z dz = x^2 \cos(xy) \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^1

STEP 4

Substituindo os limites de integração, temos:
x2cos⁡(xy)(122−022)=x2cos⁡(xy)2 x^2 \cos(xy) \left( \frac{\textbf{1}^2}{2} - \frac{\textbf{0}^2}{2} \right) = \frac{x^2 \cos(xy)}{2}

STEP 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a yy, tratando xx como constante.
A integral de cos⁡(xy)\cos(xy) em relação a yy é sin⁡(xy)x\frac{\sin(xy)}{x}.
Multiplicando pela constante x22\frac{x^2}{2} que já tínhamos, ficamos com:
∫0πx2cos⁡(xy)2dy=x22∫0πcos⁡(xy)dy=x22[sin⁡(xy)x]0π \int_{0}^{\pi} \frac{x^2 \cos(xy)}{2} dy = \frac{x^2}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(xy) dy = \frac{x^2}{2} \left[ \frac{\sin(xy)}{x} \right]_0^\pi

STEP 6

Substituindo os limites de integração para yy, de 0 a π\pi, temos:
x22(sin⁡(x⋅π)x−sin⁡(x⋅0)x)=x22⋅sin⁡(πx)x=xsin⁡(πx)2 \frac{x^2}{2} \left( \frac{\sin(x \cdot \textbf{$\pi$})}{x} - \frac{\sin(x \cdot \textbf{0})}{x} \right) = \frac{x^2}{2} \cdot \frac{\sin(\pi x)}{x} = \frac{x \sin(\pi x)}{2}

STEP 7

Finalmente, vamos integrar em relação a xx.
Aqui, usaremos integração por partes.
Lembrando a fórmula: ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du.
Vamos definir u=xu = x e dv=sin⁡(πx)dxdv = \sin(\pi x) dx.
Então, du=dxdu = dx e v=−cos⁡(πx)πv = -\frac{\cos(\pi x)}{\pi}.
∫1312xsin⁡(πx)2dx=12∫1312xsin⁡(πx)dx \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{x \sin(\pi x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} x \sin(\pi x) dx

STEP 8

Aplicando a integração por partes:
12[−xcos⁡(πx)π∣1312−∫1312−cos⁡(πx)πdx]=12[−xcos⁡(πx)π∣1312+1π∫1312cos⁡(πx)dx] \frac{1}{2} \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} \Big|_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} - \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} dx \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} \Big|_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\pi} \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \cos(\pi x) dx \right]

STEP 9

Calculando a integral restante e substituindo os limites de integração para xx, de 13\frac{1}{3} a 12\frac{1}{2}:
12[−xcos⁡(πx)π+sin⁡(πx)π2]1312=12[(0+1π2)−(−13⋅12π+32π2)]=12(1π2+16π−32π2) \frac{1}{2} \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \left( 0 + \frac{1}{\pi^2} \right) - \left( -\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\pi} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\pi^2} \right) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{6\pi} - \frac{\sqrt{3}}{2\pi^2} \right)

STEP 10

A solução da integral tripla é 12π2+112π−34π2\frac{1}{2\pi^2} + \frac{1}{12\pi} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi^2}.

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