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STEP 1

O que isso está pedindo?
Calcular uma integral tripla, ou seja, o volume de uma região tridimensional definida por uma função.
Basicamente, estamos somando um monte de pedacinhos infinitesimais para encontrar um valor total.
Cuidado!
Lembre-se da ordem de integração!
Integramos de "dentro" para "fora", respeitando os limites de integração para cada variável.
Não se esqueça de aplicar as regras de integração corretamente para cada variável.

STEP 2

1. Integrar em relação a $z$.
2. Integrar em relação a $y$.
3. Integrar em relação a $x$.

STEP 3

Vamos começar integrando a função em relação a $z$, tratando $x$ e $y$ como constantes.
A integral de $z$ em relação a $z$ é $\frac{z^2}{2}$.
Aplicando os limites de integração de 0 a 1, temos:
$$\int_{0}^{1} zx^2 \cos(xy) dz = x^2 \cos(xy) \int_{0}^{1} z dz = x^2 \cos(xy) \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^1$$

STEP 4

Substituindo os limites de integração, temos:
$$x^2 \cos(xy) \left( \frac{\textbf{1}^2}{2} - \frac{\textbf{0}^2}{2} \right) = \frac{x^2 \cos(xy)}{2}$$

STEP 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a $y$, tratando $x$ como constante.
A integral de $\cos(xy)$ em relação a $y$ é $\frac{\sin(xy)}{x}$.
Multiplicando pela constante $\frac{x^2}{2}$ que já tínhamos, ficamos com:
$$\int_{0}^{\pi} \frac{x^2 \cos(xy)}{2} dy = \frac{x^2}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(xy) dy = \frac{x^2}{2} \left[ \frac{\sin(xy)}{x} \right]_0^\pi$$

STEP 6

Substituindo os limites de integração para $y$, de 0 a $\pi$, temos:
$$\frac{x^2}{2} \left( \frac{\sin(x \cdot \textbf{$\pi$})}{x} - \frac{\sin(x \cdot \textbf{0})}{x} \right) = \frac{x^2}{2} \cdot \frac{\sin(\pi x)}{x} = \frac{x \sin(\pi x)}{2}$$

STEP 7

Finalmente, vamos integrar em relação a $x$.
Aqui, usaremos integração por partes.
Lembrando a fórmula: $\int u dv = uv - \int v du$.
Vamos definir $u = x$ e $dv = \sin(\pi x) dx$.
Então, $du = dx$ e $v = -\frac{\cos(\pi x)}{\pi}$.
$$\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{x \sin(\pi x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} x \sin(\pi x) dx$$

STEP 8

Aplicando a integração por partes:
$$\frac{1}{2} \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} \Big|_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} - \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} dx \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} \Big|_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\pi} \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \cos(\pi x) dx \right]$$

STEP 9

Calculando a integral restante e substituindo os limites de integração para $x$, de $\frac{1}{3}$ a $\frac{1}{2}$:
$$\frac{1}{2} \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \left( 0 + \frac{1}{\pi^2} \right) - \left( -\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\pi} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\pi^2} \right) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{6\pi} - \frac{\sqrt{3}}{2\pi^2} \right)$$

A solução da integral tripla é $\frac{1}{2\pi^2} + \frac{1}{12\pi} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi^2}$.