Math / Algebra

Question1.) Eine Parabel mit dem Scheitel $S(2 / 12)$ schneidet die $y$ -Achse in der Höhe $y_{0}=6$ . c) Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform (SPF) und in allgemeiner Form (AF), d.h. $f(x)=a x^{2}+b x+c$

Studdy Solution

STEP 1

Annahmen
1. Der Scheitelpunkt der Parabel ist $S(2, 12)$ .
2. Die Parabel schneidet die $y$ -Achse bei $y_0 = 6$ .
3. Die Funktionsgleichung der Parabel in Scheitelpunktsform (SPF) ist $f(x) = a(x - h)^2 + k$ , wobei $(h, k)$ der Scheitelpunkt ist.
4. Die allgemeine Form (AF) der Funktionsgleichung ist $f(x) = ax^2 + bx + c$ .

STEP 2

Verwenden wir die Scheitelpunktsform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ und setzen den Scheitelpunkt $S(2, 12)$ ein:
$f(x) = a(x - 2)^2 + 12$

STEP 3

Um den Wert von $a$ zu bestimmen, nutzen wir die Information, dass die Parabel die $y$ -Achse bei $y_0 = 6$ schneidet. Dies bedeutet, dass $f(0) = 6$ .
$f(0) = a(0 - 2)^2 + 12 = 6$

STEP 4

Setze $x = 0$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf:
$a(0 - 2)^2 + 12 = 6$
$4a + 12 = 6$

STEP 5

Subtrahiere 12 von beiden Seiten der Gleichung:
$4a = 6 - 12$
$4a = -6$

STEP 6

Teile beide Seiten der Gleichung durch 4, um $a$ zu finden:
$a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

STEP 7

Setze den Wert von $a$ in die Scheitelpunktsform ein:
$f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12$
Dies ist die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform (SPF).

STEP 8

Um die allgemeine Form (AF) zu finden, erweitern wir die Scheitelpunktsform:
$f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12$

STEP 9

Erweitere den Ausdruck $(x - 2)^2$ :
$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

STEP 10

Setze den erweiterten Ausdruck in die Gleichung ein:
$f(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - 4x + 4) + 12$

STEP 11

Multipliziere den Ausdruck aus:
$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x - 6 + 12$

STEP 12

Fasse die konstanten Terme zusammen:
$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x + 6$
Dies ist die allgemeine Form (AF) der Funktionsgleichung.
Die Funktionsgleichungen sind somit: - Scheitelpunktsform (SPF): $f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12$ - Allgemeine Form (AF): $f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x + 6$

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Question1.) Eine Parabel mit dem Scheitel $S(2 / 12)$ schneidet die $y$ -Achse in der Höhe $y_{0}=6$ . c) Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform (SPF) und in allgemeiner Form (AF), d.h. $f(x)=a x^{2}+b x+c$

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STEP 1

STEP 2

Verwenden wir die Scheitelpunktsform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ und setzen den Scheitelpunkt $S(2, 12)$ ein:
$f(x) = a(x - 2)^2 + 12$

STEP 3

Um den Wert von $a$ zu bestimmen, nutzen wir die Information, dass die Parabel die $y$ -Achse bei $y_0 = 6$ schneidet. Dies bedeutet, dass $f(0) = 6$ .
$f(0) = a(0 - 2)^2 + 12 = 6$

STEP 4

Setze $x = 0$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf:
$a(0 - 2)^2 + 12 = 6$
$4a + 12 = 6$

STEP 5

Subtrahiere 12 von beiden Seiten der Gleichung:
$4a = 6 - 12$
$4a = -6$

STEP 6

Teile beide Seiten der Gleichung durch 4, um $a$ zu finden:
$a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

STEP 7

Setze den Wert von $a$ in die Scheitelpunktsform ein:
$f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12$
Dies ist die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform (SPF).

STEP 8

Um die allgemeine Form (AF) zu finden, erweitern wir die Scheitelpunktsform:
$f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12$

STEP 9

Erweitere den Ausdruck $(x - 2)^2$ :
$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

STEP 10

Setze den erweiterten Ausdruck in die Gleichung ein:
$f(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - 4x + 4) + 12$

STEP 11

Multipliziere den Ausdruck aus:
$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x - 6 + 12$

STEP 12

Fasse die konstanten Terme zusammen:
$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x + 6$
Dies ist die allgemeine Form (AF) der Funktionsgleichung.
Die Funktionsgleichungen sind somit: - Scheitelpunktsform (SPF): $f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12$ - Allgemeine Form (AF): $f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x + 6$

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Question1.) Eine Parabel mit dem Scheitel S(2/12)S(2 / 12)S(2/12) schneidet die yyy-Achse in der Höhe y0=6y_{0}=6y0​=6. c) Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform (SPF) und in allgemeiner Form (AF), d.h. f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^{2}+b x+cf(x)=ax2+bx+c

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STEP 1

STEP 2

Verwenden wir die Scheitelpunktsform f(x)=a(x−h)2+kf(x) = a(x - h)^2 + kf(x)=a(x−h)2+k und setzen den Scheitelpunkt S(2,12)S(2, 12)S(2,12) ein:f(x)=a(x−2)2+12f(x) = a(x - 2)^2 + 12f(x)=a(x−2)2+12

STEP 3

Um den Wert von aaa zu bestimmen, nutzen wir die Information, dass die Parabel die yyy-Achse bei y0=6y_0 = 6y0​=6 schneidet. Dies bedeutet, dass f(0)=6f(0) = 6f(0)=6.f(0)=a(0−2)2+12=6f(0) = a(0 - 2)^2 + 12 = 6f(0)=a(0−2)2+12=6

STEP 4

Setze x=0x = 0x=0 in die Gleichung ein und löse nach aaa auf:a(0−2)2+12=6a(0 - 2)^2 + 12 = 6a(0−2)2+12=64a+12=64a + 12 = 64a+12=6

STEP 5

Subtrahiere 12 von beiden Seiten der Gleichung:4a=6−124a = 6 - 124a=6−124a=−64a = -64a=−6

STEP 6

Teile beide Seiten der Gleichung durch 4, um aaa zu finden:a=−64=−32a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}a=−46​=−23​

STEP 7

Setze den Wert von aaa in die Scheitelpunktsform ein:f(x)=−32(x−2)2+12f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12f(x)=−23​(x−2)2+12Dies ist die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform (SPF).

STEP 8

Um die allgemeine Form (AF) zu finden, erweitern wir die Scheitelpunktsform:f(x)=−32(x−2)2+12f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12f(x)=−23​(x−2)2+12

STEP 9

Erweitere den Ausdruck (x−2)2(x - 2)^2(x−2)2:(x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4(x−2)2=x2−4x+4

STEP 10

Setze den erweiterten Ausdruck in die Gleichung ein:f(x)=−32(x2−4x+4)+12f(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - 4x + 4) + 12f(x)=−23​(x2−4x+4)+12

STEP 11

Multipliziere den Ausdruck aus:f(x)=−32x2+6x−6+12f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x - 6 + 12f(x)=−23​x2+6x−6+12

STEP 12

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Question1.) Eine Parabel mit dem Scheitel $S(2 / 12)$ schneidet die $y$ -Achse in der Höhe $y_{0}=6$ . c) Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform (SPF) und in allgemeiner Form (AF), d.h. $f(x)=a x^{2}+b x+c$

Verwenden wir die Scheitelpunktsform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ und setzen den Scheitelpunkt $S(2, 12)$ ein:
$f(x) = a(x - 2)^2 + 12$

Um den Wert von $a$ zu bestimmen, nutzen wir die Information, dass die Parabel die $y$ -Achse bei $y_0 = 6$ schneidet. Dies bedeutet, dass $f(0) = 6$ .
$f(0) = a(0 - 2)^2 + 12 = 6$

Setze $x = 0$ in die Gleichung ein und löse nach $a$ auf:
$a(0 - 2)^2 + 12 = 6$
$4a + 12 = 6$

Subtrahiere 12 von beiden Seiten der Gleichung:
$4a = 6 - 12$
$4a = -6$

Teile beide Seiten der Gleichung durch 4, um $a$ zu finden:
$a = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

Setze den Wert von $a$ in die Scheitelpunktsform ein:
$f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12$
Dies ist die Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform (SPF).

Um die allgemeine Form (AF) zu finden, erweitern wir die Scheitelpunktsform:
$f(x) = -\frac{3}{2}(x - 2)^2 + 12$

Erweitere den Ausdruck $(x - 2)^2$ :
$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

Setze den erweiterten Ausdruck in die Gleichung ein:
$f(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - 4x + 4) + 12$

Multipliziere den Ausdruck aus:
$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x - 6 + 12$