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Math  /  Calculus

Question1. Find the condition on the parameters a,ba, b, and variable xx for which the following infinte sum converges: ∑n=0∞(ax)n(bx)n\sum_{n=0}^{\infty}(a x)^{n}(b x)^{n}

Studdy Solution

STEP 1

1. La somma infinita data è una serie geometrica.
2. La serie geometrica converge se il valore assoluto del termine comune è minore di 1.
3. Dobbiamo trovare le condizioni sui parametri a a , b b e la variabile x x affinché la serie converga.

STEP 2

1. Identificare il termine comune della serie.
2. Determinare la condizione di convergenza per la serie geometrica.
3. Risolvere l'inequazione per ottenere le condizioni sui parametri a a , b b e x x .

STEP 3

Identificare il termine comune della serie:
Il termine generale della serie è (ax)n(bx)n=(abx2)n(a x)^n (b x)^n = (ab x^2)^n.

STEP 4

Determinare la condizione di convergenza per la serie geometrica:
Una serie geometrica ∑n=0∞rn\sum_{n=0}^{\infty} r^n converge se ∣r∣<1|r| < 1.
Per la nostra serie, il termine comune è r=abx2r = ab x^2.

STEP 5

Risolvere l'inequazione ∣abx2∣<1|ab x^2| < 1 per ottenere le condizioni sui parametri a a , b b e x x :
∣abx2∣<1 |ab x^2| < 1
∣x2∣<1∣ab∣ |x^2| < \frac{1}{|ab|}
Poiché x2 x^2 è sempre non negativo, possiamo scrivere:
x2<1∣ab∣ x^2 < \frac{1}{|ab|}
∣x∣<1∣ab∣ |x| < \sqrt{\frac{1}{|ab|}}
Quindi, la condizione di convergenza è che il valore assoluto di x x deve essere minore di 1∣ab∣\sqrt{\frac{1}{|ab|}}.
La condizione per cui la somma infinita converge è ∣x∣<1∣ab∣|x| < \sqrt{\frac{1}{|ab|}}.

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