Question1) $\lim _{x \rightarrow 4}(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})$ 2) $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x^{3}-1}\right)$ 3) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$ 8) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}$

STEP 1

STEP 2

لإيجاد $\lim _{x \rightarrow 4}(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})$، نحتاج إلى التخلص من الجذر عن طريق الضرب في المرافق:
$$\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x+3} - \sqrt{x})(\sqrt{x+3} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}}$$

STEP 3

تبسيط الكسر:
$$\lim_{x \to 4} \frac{(x+3) - x}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}}$$ $$\lim_{x \to 4} \frac{3}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}}$$

STEP 4

التعويض المباشر:
$$\frac{3}{\sqrt{4+3} + \sqrt{4}} = \frac{3}{\sqrt{7} + 2}$$
النهاية هي:
$$\boxed{\frac{3}{\sqrt{7} + 2}}$$

STEP 5

لحساب $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x^{3}-1}\right)$، نلاحظ أن البسط والمقام يساويان صفر عند $x = 1$، لذا نستخدم قاعدة لوبيتال:
$$\lim_{x \to 1} \frac{1}{3x^2}$$

STEP 6

التعويض المباشر:
$$\frac{1}{3(1)^2} = \frac{1}{3}$$
النهاية هي:
$$\boxed{\frac{1}{3}}$$

STEP 7

لحساب $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$، نستخدم تعريف النهاية الأسية:
$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$
النهاية هي:
$$\boxed{e}$$

STEP 8

لحساب $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}$، نقوم بتحليل الكسر:
$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{2}{x+1}\right)^x$$

STEP 9

نستخدم النهاية الأسية:
$$\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{2}{x+1}\right)^x = e^{-2}$$
النهاية هي:
$$\boxed{e^{-2}}$$