Math / Geometry

Question11 Ein Erdwall hat im Querschnitt näherungsweise die Form einer Parabel (Fig. 1). Er ist 2 m hoch und auf 1 m Höhe 10 m breit. Wie breit ist er am Boden?

Studdy Solution

STEP 1

Was ist das? Wir sollen die Breite eines parabelförmigen Erdwalls am Boden berechnen, wenn wir seine Höhe und Breite in einer bestimmten Höhe kennen. Vorsicht! Verwechsle nicht die Breite auf 1 m Höhe mit der Breite am Boden!
Denk daran, dass eine Parabel symmetrisch ist!

STEP 2

1. Parabel definieren
2. Formel optimieren
3. Breite berechnen

STEP 3

Wir legen den Ursprung unseres Koordinatensystems in die Mitte des Erdwalls am Boden.
Das macht die Sache einfacher!
Die x-Achse verläuft entlang des Bodens und die y-Achse zeigt nach oben.

STEP 4

Da die Parabel symmetrisch ist und der Scheitelpunkt bei $(0, 2)$ liegt, können wir die Gleichung in der Scheitelpunktform schreiben: $y = a \cdot x^2 + 2$ .
Wir müssen jetzt nur noch den Wert von a herausfinden!

STEP 5

Wir wissen, dass der Erdwall auf 1 m Höhe 10 m breit ist.
Das bedeutet, der Punkt $(5, 1)$ liegt auf der Parabel (wegen der Symmetrie nehmen wir die positive x-Koordinate).
Setzen wir das ein: $1 = a \cdot 5^2 + 2$ .

STEP 6

Jetzt lösen wir nach a auf: $1 = 25a + 2$ .
Subtrahiere 2 von beiden Seiten: $-1 = 25a$ .
Teile beide Seiten durch 25: $a = -\frac{1}{25}$ .
Super!

STEP 7

Unsere Parabelgleichung ist also: $y = -\frac{1}{25} \cdot x^2 + 2$ .

STEP 8

Wir wollen die Breite am Boden wissen, also wo $y = 0$ ist.
Setzen wir das in unsere Gleichung ein: $0 = -\frac{1}{25} \cdot x^2 + 2$ .

STEP 9

Bringen wir den Term mit $x^2$ auf die andere Seite: $\frac{1}{25} \cdot x^2 = 2$ .

STEP 10

Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit 25: $x^2 = 50$ .
Ziehen wir die Wurzel: $x = \pm\sqrt{50}$ .

STEP 11

Da x die Entfernung vom Ursprung ist, entspricht $\sqrt{50}$ der halben Breite am Boden.
Die gesamte Breite ist also $2 \cdot \sqrt{50}$ .

STEP 12

Wir können $\sqrt{50}$ vereinfachen: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ .
Die Breite am Boden ist also $2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ .

STEP 13

Die Breite des Erdwalls am Boden beträgt $10\sqrt{2}$ m.

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Question11 Ein Erdwall hat im Querschnitt näherungsweise die Form einer Parabel (Fig. 1). Er ist 2 m hoch und auf 1 m Höhe 10 m breit. Wie breit ist er am Boden?

Studdy Solution

STEP 1

Was ist das? Wir sollen die Breite eines parabelförmigen Erdwalls am Boden berechnen, wenn wir seine Höhe und Breite in einer bestimmten Höhe kennen. Vorsicht! Verwechsle nicht die Breite auf 1 m Höhe mit der Breite am Boden!
Denk daran, dass eine Parabel symmetrisch ist!

STEP 2

1. Parabel definieren
2. Formel optimieren
3. Breite berechnen

STEP 3

Wir legen den Ursprung unseres Koordinatensystems in die Mitte des Erdwalls am Boden.
Das macht die Sache einfacher!
Die x-Achse verläuft entlang des Bodens und die y-Achse zeigt nach oben.

STEP 4

Da die Parabel symmetrisch ist und der Scheitelpunkt bei $(0, 2)$ liegt, können wir die Gleichung in der Scheitelpunktform schreiben: $y = a \cdot x^2 + 2$ .
Wir müssen jetzt nur noch den Wert von a herausfinden!

STEP 5

Wir wissen, dass der Erdwall auf 1 m Höhe 10 m breit ist.
Das bedeutet, der Punkt $(5, 1)$ liegt auf der Parabel (wegen der Symmetrie nehmen wir die positive x-Koordinate).
Setzen wir das ein: $1 = a \cdot 5^2 + 2$ .

STEP 6

Jetzt lösen wir nach a auf: $1 = 25a + 2$ .
Subtrahiere 2 von beiden Seiten: $-1 = 25a$ .
Teile beide Seiten durch 25: $a = -\frac{1}{25}$ .
Super!

STEP 7

Unsere Parabelgleichung ist also: $y = -\frac{1}{25} \cdot x^2 + 2$ .

STEP 8

Wir wollen die Breite am Boden wissen, also wo $y = 0$ ist.
Setzen wir das in unsere Gleichung ein: $0 = -\frac{1}{25} \cdot x^2 + 2$ .

STEP 9

Bringen wir den Term mit $x^2$ auf die andere Seite: $\frac{1}{25} \cdot x^2 = 2$ .

STEP 10

Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit 25: $x^2 = 50$ .
Ziehen wir die Wurzel: $x = \pm\sqrt{50}$ .

STEP 11

Da x die Entfernung vom Ursprung ist, entspricht $\sqrt{50}$ der halben Breite am Boden.
Die gesamte Breite ist also $2 \cdot \sqrt{50}$ .

STEP 12

Wir können $\sqrt{50}$ vereinfachen: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ .
Die Breite am Boden ist also $2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ .

STEP 13

Die Breite des Erdwalls am Boden beträgt $10\sqrt{2}$ m.

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Question11 Ein Erdwall hat im Querschnitt näherungsweise die Form einer Parabel (Fig. 1). Er ist 2 m hoch und auf 1 m Höhe 10 m breit. Wie breit ist er am Boden?

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STEP 1

Was ist das? Wir sollen die Breite eines parabelförmigen Erdwalls am Boden berechnen, wenn wir seine Höhe und Breite in einer bestimmten Höhe kennen. Vorsicht! Verwechsle nicht die Breite auf 1 m Höhe mit der Breite am Boden!Denk daran, dass eine Parabel symmetrisch ist!

STEP 2

1. Parabel definieren2. Formel optimieren3. Breite berechnen

STEP 3

Wir legen den Ursprung unseres Koordinatensystems in die Mitte des Erdwalls am Boden.Das macht die Sache einfacher!Die *x*-Achse verläuft entlang des Bodens und die *y*-Achse zeigt nach oben.

STEP 4

Da die Parabel symmetrisch ist und der Scheitelpunkt bei (0,2)(0, 2)(0,2) liegt, können wir die Gleichung in der Scheitelpunktform schreiben: y=a⋅x2+2y = a \cdot x^2 + 2y=a⋅x2+2.Wir müssen jetzt nur noch den Wert von *a* herausfinden!

STEP 5

Wir wissen, dass der Erdwall auf 1 m Höhe 10 m breit ist.Das bedeutet, der Punkt (5,1)(5, 1)(5,1) liegt auf der Parabel (wegen der Symmetrie nehmen wir die positive *x*-Koordinate).Setzen wir das ein: 1=a⋅52+21 = a \cdot 5^2 + 21=a⋅52+2.

STEP 6

Jetzt lösen wir nach *a* auf: 1=25a+21 = 25a + 21=25a+2.Subtrahiere 2 von beiden Seiten: −1=25a-1 = 25a−1=25a.Teile beide Seiten durch 25: a=−125a = -\frac{1}{25}a=−251​.Super!

STEP 7

Unsere Parabelgleichung ist also: y=−125⋅x2+2y = -\frac{1}{25} \cdot x^2 + 2y=−251​⋅x2+2.

STEP 8

Wir wollen die Breite am Boden wissen, also wo y=0y = 0y=0 ist.Setzen wir das in unsere Gleichung ein: 0=−125⋅x2+20 = -\frac{1}{25} \cdot x^2 + 20=−251​⋅x2+2.

STEP 9

Bringen wir den Term mit x2x^2x2 auf die andere Seite: 125⋅x2=2\frac{1}{25} \cdot x^2 = 2251​⋅x2=2.

STEP 10

Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit 25: x2=50x^2 = 50x2=50.Ziehen wir die Wurzel: x=±50x = \pm\sqrt{50}x=±50​.

STEP 11

Da *x* die Entfernung vom Ursprung ist, entspricht 50\sqrt{50}50​ der halben Breite am Boden.Die **gesamte Breite** ist also 2⋅502 \cdot \sqrt{50}2⋅50​.

STEP 12

Wir können 50\sqrt{50}50​ vereinfachen: 50=25⋅2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}50​=25⋅2​=52​.Die Breite am Boden ist also 2⋅52=1022 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}2⋅52​=102​.

STEP 13

Die Breite des Erdwalls am Boden beträgt 10210\sqrt{2}102​ m.

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Was ist das? Wir sollen die Breite eines parabelförmigen Erdwalls am Boden berechnen, wenn wir seine Höhe und Breite in einer bestimmten Höhe kennen. Vorsicht! Verwechsle nicht die Breite auf 1 m Höhe mit der Breite am Boden!
Denk daran, dass eine Parabel symmetrisch ist!

1. Parabel definieren
2. Formel optimieren
3. Breite berechnen

Wir legen den Ursprung unseres Koordinatensystems in die Mitte des Erdwalls am Boden.
Das macht die Sache einfacher!
Die x-Achse verläuft entlang des Bodens und die y-Achse zeigt nach oben.

Da die Parabel symmetrisch ist und der Scheitelpunkt bei $(0, 2)$ liegt, können wir die Gleichung in der Scheitelpunktform schreiben: $y = a \cdot x^2 + 2$ .
Wir müssen jetzt nur noch den Wert von a herausfinden!

Wir wissen, dass der Erdwall auf 1 m Höhe 10 m breit ist.
Das bedeutet, der Punkt $(5, 1)$ liegt auf der Parabel (wegen der Symmetrie nehmen wir die positive x-Koordinate).
Setzen wir das ein: $1 = a \cdot 5^2 + 2$ .

Jetzt lösen wir nach a auf: $1 = 25a + 2$ .
Subtrahiere 2 von beiden Seiten: $-1 = 25a$ .
Teile beide Seiten durch 25: $a = -\frac{1}{25}$ .
Super!

Unsere Parabelgleichung ist also: $y = -\frac{1}{25} \cdot x^2 + 2$ .

Wir wollen die Breite am Boden wissen, also wo $y = 0$ ist.
Setzen wir das in unsere Gleichung ein: $0 = -\frac{1}{25} \cdot x^2 + 2$ .

Bringen wir den Term mit $x^2$ auf die andere Seite: $\frac{1}{25} \cdot x^2 = 2$ .

Jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit 25: $x^2 = 50$ .
Ziehen wir die Wurzel: $x = \pm\sqrt{50}$ .

Da x die Entfernung vom Ursprung ist, entspricht $\sqrt{50}$ der halben Breite am Boden.
Die gesamte Breite ist also $2 \cdot \sqrt{50}$ .

Wir können $\sqrt{50}$ vereinfachen: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ .
Die Breite am Boden ist also $2 \cdot 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ .

Die Breite des Erdwalls am Boden beträgt $10\sqrt{2}$ m.