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Math  /  Geometry

Question11 Während ein Wetterballon in die Atmosphäre aufsteigt, funkt er Daten zur Erde. In der immer dünner werdenden Luft nimmt das Volumen des Ballons zu, bis er in 30 bis 35 km Höhe platzt. a) Berechne das Gewicht der Latexhülle eines Wetterballons, der am Boden einen Durchmesser von 1,70 m1,70 \mathrm{~m} hat. 1dm21 \mathrm{dm}^{2} wiegt dort etwa 1,1g. b) Das Volumen des Ballons wächst bis auf das 500-Fache an. Welche Oberfläche hat der Wetterballon dann?

Studdy Solution

STEP 1

1. Der Wetterballon hat am Boden die Form einer Kugel mit einem Durchmesser von 1,70 m1,70 \, \text{m}.
2. Die Dichte der Latexhülle beträgt 1,1 g/dm21,1 \, \text{g/dm}^2.
3. Das Volumen des Ballons wächst bis auf das 500-Fache an.

STEP 2

1. a) Gewicht der Latexhülle berechnen.
2. Berechne die Oberfläche der Kugel am Boden.
3. Berechne das Gewicht der Latexhülle.
b) Oberfläche des aufgeblasenen Ballons berechnen.
1. Berechne das neue Volumen des Ballons.
2. Berechne den neuen Radius des Ballons.
4. Berechne die neue Oberfläche des Ballons.
a)

STEP 3

High_Level_Step: a1 Berechne die Oberfläche der Kugel am Boden:
Die Formel für die Oberfläche einer Kugel ist:
A=4πr2 A = 4 \pi r^2
Der Radius r r ist die Hälfte des Durchmessers:
r=1,70 m2=0,85 m r = \frac{1,70 \, \text{m}}{2} = 0,85 \, \text{m}
Setze den Radius in die Formel ein:
A=4π(0,85 m)2 A = 4 \pi (0,85 \, \text{m})^2
a)

STEP 4

High_Level_Step: a2 Berechne das Gewicht der Latexhülle:
Konvertiere die Oberfläche in dm2\text{dm}^2:
A=4π(8,5 dm)2 A = 4 \pi (8,5 \, \text{dm})^2
Berechne das Gewicht:
Gewicht=A×1,1 g/dm2 \text{Gewicht} = A \times 1,1 \, \text{g/dm}^2
b) STEP_1: High_Level_Step: b1 Berechne das neue Volumen des Ballons:
Das ursprüngliche Volumen V0 V_0 einer Kugel ist:
V0=43πr3 V_0 = \frac{4}{3} \pi r^3
Das neue Volumen V V ist das 500-Fache:
V=500×V0 V = 500 \times V_0
b) STEP_2: High_Level_Step: b2 Berechne den neuen Radius des Ballons:
Setze das neue Volumen in die Volumenformel ein und löse nach dem neuen Radius r′ r' auf:
V=43π(r′)3 V = \frac{4}{3} \pi (r')^3
b)

STEP 5

High_Level_Step: b3 Berechne die neue Oberfläche des Ballons:
Verwende die Formel für die Oberfläche einer Kugel mit dem neuen Radius:
A′=4π(r′)2 A' = 4 \pi (r')^2

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