Question연속 함수 $f(x)$ 가 주어지고, $g(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t-\int_{x}^{4} f(t) d t$ 가 $x=2$ 에서 0일 때, $\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x) d x$ 의 값은?

Studdy Solution

STEP 1

가정1. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 있다. . $n-1 \leq x<n$ 일 때, $|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|$ 이다. (단, $n$ 은 자연수이다.)
3. 열린구간 $(0,4)$ 에서 정의된 함수 $g(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t-\int_{x}^{4} f(t) d t$ 가 있다.
4. 함수 $g(x)$ 가 $x=$ 에서 최솟값0 을 가진다.

STEP 2

함수 $f(x)$ 의 부호를 결정하기 위해 $n-1 \leq x<n$ 범위를 살펴본다. 이 범위에서 $x-n+1$ 의 부호는 $x-n$ 의 부호와 반대이다. 따라서, $|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|$ 는 $f(x)=6(x-n+1)(x-n)$ 또는 $f(x)=-6(x-n+1)(x-n)$ 이 될 수 있다.

STEP 3

함수 $f(x)$ 가 연속이므로, $x=n-1$ 에서 $f(x)$ 의 부호가 바뀌고, $x=n$ 에서 다시 $f(x)$ 의 부호가 바뀐다. 따라서, $n$ 이 짝수일 때 $f(x)=6(x-n+1)(x-n)$ 이고, $n$ 이 홀수일 때 $f(x)=-6(x-n+1)(x-n)$ 이다.

STEP 4

이제, $g(x)$ 의 미분을 구한다. $g(x)$ 는 $f(x)$ 의 적분으로 정의되므로, 미분하면 원래의 함수 $f(x)$ 가 나온다. 이는 레이놀즈의 정리에 의해 보장된다.
$g'(x) = f(x) - (-f(x)) =2f(x)$

STEP 5

$g(x)$ 가 $x=2$ 에서 최솟값0을 가지므로, $g'(2)=0$ 이다. 따라서, $f(2)=0$ 이다.

STEP 6

$x=2$ 에서 $f(x)$ 의 부호가 바뀌므로, $f(x)$ 는 $x=2$ 에서 최대값 또는 최소값을 가진다. $f(x)$ 의 부호를 고려하면, $f(x)$ 는 $x=2$ 에서 최대값을 가진다.

STEP 7

이제, $\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x) d x$ 의 값을 구한다. $f(x)$ 의 부호를 고려하면, 이 적분은 $x=2$ 에서 최대값을 가지는 $f(x)$ 의 면적을 구하는 것과 같다.

STEP 8

$\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x) d x$ 의 값을 구하기 위해 $f(x)$ 를 적분한다. $f(x)$ 의 정의를 사용하면, 이 적분은 다음과 같다.
$\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x) d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} -6(x-1)(x-2) dx + \int_{2}^{4}6(x-3)(x-2) dx$

STEP 9

이제 각각의 적분을 계산한다.
$\int_{\frac{}{2}}^{2} -6(x-)(x-2) dx = -\frac{9}{2}$ $\int_{2}^{4}6(x-3)(x-2) dx = \frac{4}{2}$

STEP 10

두 적분의 합을 구한다.
$-\frac{9}{2} + \frac{4}{2} = -\frac{5}{2}$ 따라서, $\int_{\frac{}{2}}^{4} f(x) d x = -\frac{5}{2}$ 이다.

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