Math / Geometry

Question12 Die Ebene E besitzt die Spurgeraden $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ und $h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\binom{0}{1}$ . a) Veranschaulichen Sie die Spurgeraden in einem Koordinatensystem. Geben Sie die Spurpunkte von $E$ an. b) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E und eine Gleichung der dritten Spurgeraden.

Studdy Solution

STEP 1

1. Die Ebene $E$ wird durch zwei Spurgeraden $g$ und $h$ definiert.
2. Die Spurgerade $g$ liegt in der $xz$ -Ebene, und die Spurgerade $h$ liegt in der $yz$ -Ebene.
3. Die Aufgabe besteht darin, die Spurpunkte zu bestimmen und eine Koordinatengleichung der Ebene sowie die dritte Spurgerade zu finden.

STEP 2

1. Bestimmen der Spurpunkte der Ebene $E$ .
2. Bestimmen einer Koordinatengleichung der Ebene $E$ .
3. Bestimmen der Gleichung der dritten Spurgerade.

STEP 3

Bestimmen der Spurpunkte der Ebene $E$ :
- Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Spurgeraden mit den Koordinatenachsen. - Für die Spurgerade $g$ : Setze $z = 0$ in $g$ , um den Spurpunkt auf der $x$ -Achse zu finden. - Für die Spurgerade $h$ : Setze $y = 0$ in $h$ , um den Spurpunkt auf der $z$ -Achse zu finden.
STEP_1.1: Berechne den Spurpunkt von $g$ auf der $x$ -Achse:
$\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Setze $z = 0$ :
$\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Der Spurpunkt auf der $x$ -Achse ist $(4, 0, 0)$ .
STEP_1.2: Berechne den Spurpunkt von $h$ auf der $z$ -Achse:
$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
Setze $y = 0$ :
$\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$
Der Spurpunkt auf der $z$ -Achse ist $(0, 3, 0)$ .

STEP 4

Bestimmen einer Koordinatengleichung der Ebene $E$ :
- Verwende die Spurpunkte $(4, 0, 0)$ und $(0, 3, 0)$ sowie die Richtung der Spurgeraden, um die Ebene zu definieren. - Eine mögliche Koordinatengleichung ist in der Form $ax + by + cz = d$ .
STEP_2.1: Verwende die Punkte und Richtungen, um die Ebene zu definieren:
- Die Ebene enthält die Punkte $(4, 0, 0)$ und $(0, 3, 0)$ . - Eine mögliche Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ .
Die Koordinatengleichung ist:
$-x + 0y + 0z = -4$
Vereinfacht:
$x = 4$

STEP 5

Bestimmen der Gleichung der dritten Spurgerade:
- Die dritte Spurgerade ist die Schnittlinie der Ebene mit der $xy$ -Ebene. - Setze $z = 0$ in die Koordinatengleichung der Ebene.
STEP_3.1: Setze $z = 0$ in die Koordinatengleichung:
$x = 4$
Die dritte Spurgerade ist parallel zur $y$ -Achse und verläuft durch $(4, y, 0)$ .
Die Koordinatengleichung der Ebene ist $x = 4$ und die dritte Spurgerade ist $(4, y, 0)$ .

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