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STEP 1

1. Die Ebene $E$ wird durch zwei Spurgeraden $g$ und $h$ definiert.
2. Die Spurgerade $g$ liegt in der $xz$-Ebene, und die Spurgerade $h$ liegt in der $yz$-Ebene.
3. Die Aufgabe besteht darin, die Spurpunkte zu bestimmen und eine Koordinatengleichung der Ebene sowie die dritte Spurgerade zu finden.

STEP 2

1. Bestimmen der Spurpunkte der Ebene $E$.
2. Bestimmen einer Koordinatengleichung der Ebene $E$.
3. Bestimmen der Gleichung der dritten Spurgerade.

STEP 3

Bestimmen der Spurpunkte der Ebene $E$:
- Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Spurgeraden mit den Koordinatenachsen.
- Für die Spurgerade $g$: Setze $z = 0$ in $g$, um den Spurpunkt auf der $x$-Achse zu finden.
- Für die Spurgerade $h$: Setze $y = 0$ in $h$, um den Spurpunkt auf der $z$-Achse zu finden.
STEP_1.1:
Berechne den Spurpunkt von $g$ auf der $x$-Achse:
$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Setze $z = 0$:
$$\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Der Spurpunkt auf der $x$-Achse ist $(4, 0, 0)$.
STEP_1.2:
Berechne den Spurpunkt von $h$ auf der $z$-Achse:
$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Setze $y = 0$:
$$\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Der Spurpunkt auf der $z$-Achse ist $(0, 3, 0)$.

STEP 4

Bestimmen einer Koordinatengleichung der Ebene $E$:
- Verwende die Spurpunkte $(4, 0, 0)$ und $(0, 3, 0)$ sowie die Richtung der Spurgeraden, um die Ebene zu definieren.
- Eine mögliche Koordinatengleichung ist in der Form $ax + by + cz = d$.
STEP_2.1:
Verwende die Punkte und Richtungen, um die Ebene zu definieren:
- Die Ebene enthält die Punkte $(4, 0, 0)$ und $(0, 3, 0)$.
- Eine mögliche Normalenvektor ist $\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
Die Koordinatengleichung ist:
$$-x + 0y + 0z = -4$$ Vereinfacht:
$$x = 4$$

Bestimmen der Gleichung der dritten Spurgerade:
- Die dritte Spurgerade ist die Schnittlinie der Ebene mit der $xy$-Ebene.
- Setze $z = 0$ in die Koordinatengleichung der Ebene.
STEP_3.1:
Setze $z = 0$ in die Koordinatengleichung:
$$x = 4$$ Die dritte Spurgerade ist parallel zur $y$-Achse und verläuft durch $(4, y, 0)$.
Die Koordinatengleichung der Ebene ist $x = 4$ und die dritte Spurgerade ist $(4, y, 0)$.