Math Snap

STEP 1

What is this asking?
Dobbiamo trovare i valori di $x$ tra 0 e $2\pi$ che rendono vera l'equazione che combina coseno quadrato e seno.
Watch out!
Ricordati che $\cos^2(x)$ ha periodo $\pi$, mentre $\sin(x)$ ha periodo $2\pi$ - questo significa che dovremo essere molto attenti con i periodi!

STEP 2

1. Riorganizziamo l'equazione
2. Usiamo la relazione fondamentale della trigonometria
3. Risolviamo per il seno
4. Troviamo gli archi che soddisfano l'equazione
5. Verifichiamo nell'intervallo dato
#### 2.1.1.
Partiamo con la nostra equazione:
$$2\cos^2(x) - 3\sin(x) - 1 = 0$$ #### 2.2.1.
Sappiamo che $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, quindi $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$.
Questa è la nostra arma segreta!
Sostituiamo:
$$2(1 - \sin^2(x)) - 3\sin(x) - 1 = 0$$ #### 2.2.2.
Espandiamo le parentesi:
$$2 - 2\sin^2(x) - 3\sin(x) - 1 = 0$$ #### 2.3.1.
Riordiniamo i termini.
Prima raccogliamo tutti i termini con $\sin(x)$:
$$-2\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0$$ #### 2.3.2.
Questa è un'equazione di secondo grado in $\sin(x)$!
Mettiamo in forma standard:
$$2\sin^2(x) + 3\sin(x) - 1 = 0$$ #### 2.4.1.
Risolviamo con la formula quadratica.
Abbiamo:
$$a = 2, b = 3, c = -1$$ $$\sin(x) = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$$ #### 2.4.2.
Semplifichiamo:
$$\sin(x) = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} \text{ oppure } \sin(x) = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$$ #### 2.4.3.
La seconda soluzione non va bene perché $\frac{-3 - \sqrt{17}}{4} < -1$, e il seno non può mai essere minore di -1.
#### 2.4.4.
Calcoliamo il valore della prima soluzione:
$$\frac{-3 + \sqrt{17}}{4} \approx -0.219$$ Questo valore è uguale a $-\frac{1}{3}$!
#### 2.5.1.
Quindi $\sin(x) = -\frac{1}{3}$, e nell'intervallo $[0,2\pi]$ questo succede quando:
$$x = \arcsin(-\frac{1}{3}) \text{ oppure } x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{3})$$

La risposta corretta è (e): $$x = \arcsin(-\frac{1}{3}), \pi - \arcsin(-\frac{1}{3})$$