Math / Algebra

Question128 Abiturprüfung 2017 (Bayern), Analysis, Prüfungsteil A, Aufgabengruppen 1 und 2, Aufgabe 2 Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)=2 \cdot e^{\frac{1}{2} x}-1$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. a) Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktion $f$ . b) Die Tangente an den Graphen von fim Punkt $S(0 \mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

Studdy Solution

STEP 1

Was ist das? Wir haben eine Funktion $f(x)$ und sollen ihre Nullstellen finden und zeigen, dass die Tangente am Punkt $S(0|1)$ mit den Achsen ein gleichschenkliges Dreieck bildet. Vorsicht! Nicht $e$ vergessen!
Und die Tangentengleichung braucht man auch!

STEP 2

1. Nullstellen finden
2. Tangente bestimmen
3. Dreieck überprüfen

STEP 3

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktion $f(x)$ gleich Null!
Das heißt, wir suchen den $x$ -Wert, für den $f(x) = 0$ ist.
Also: $2 \cdot e^{\frac{1}{2} x} - 1 = 0$

STEP 4

Jetzt lösen wir nach $x$ auf.
Zuerst addieren wir 1 zu beiden Seiten, um die -1 auf der linken Seite zu eliminieren: $2 \cdot e^{\frac{1}{2} x} = 1$ Dann dividieren wir beide Seiten durch 2, um das $e$ alleine zu bekommen: $e^{\frac{1}{2} x} = \frac{1}{2}$

STEP 5

Jetzt kommt der natürliche Logarithmus ins Spiel!
Wir wenden den Logarithmus auf beiden Seiten an: $\ln\left(e^{\frac{1}{2} x}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ Dadurch wird der Exponent auf der linken Seite zum Faktor: $\frac{1}{2} x = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

STEP 6

Zum Schluss multiplizieren wir beide Seiten mit 2, um nach $x$ aufzulösen: $x = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ Das ist unsere Nullstelle!

STEP 7

Für die Tangente brauchen wir die Ableitung von $f(x)$ .
Die Ableitung von $2 \cdot e^{\frac{1}{2} x} - 1$ ist: $f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} = e^{\frac{1}{2} x}$

STEP 8

Die Steigung der Tangente im Punkt $S(0|1)$ ist $f'(0)$ : $f'(0) = e^{\frac{1}{2} \cdot 0} = e^0 = 1$ Die Steigung ist also 1!

STEP 9

Mit der Punkt-Steigungs-Form $y - y_1 = m(x - x_1)$ und dem Punkt $S(0|1)$ und der Steigung $m = 1$ erhalten wir: $y - 1 = 1(x - 0)$ Vereinfacht: $y = x + 1$

STEP 10

Schnittpunkt mit der x-Achse (y=0): $0 = x + 1 \Rightarrow x = -1$ .
Der Punkt ist $(-1|0)$ . Schnittpunkt mit der y-Achse (x=0): $y = 0 + 1 \Rightarrow y = 1$ .
Der Punkt ist $(0|1)$ .

STEP 11

Die Länge der Katheten sind der Betrag der Koordinaten der Schnittpunkte: $|1| = 1$ und $|{-1}| = 1$ .

STEP 12

Beide Katheten haben die Länge 1.
Das Dreieck ist also gleichschenklig!

STEP 13

Die Nullstelle von $f(x)$ ist $x = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ .
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0|1)$ bildet mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck, da beide Katheten die Länge 1 haben.

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STEP 1

Was ist das? Wir haben eine Funktion $f(x)$ und sollen ihre Nullstellen finden und zeigen, dass die Tangente am Punkt $S(0|1)$ mit den Achsen ein gleichschenkliges Dreieck bildet. Vorsicht! Nicht $e$ vergessen!
Und die Tangentengleichung braucht man auch!

STEP 2

1. Nullstellen finden
2. Tangente bestimmen
3. Dreieck überprüfen

STEP 3

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktion $f(x)$ gleich Null!
Das heißt, wir suchen den $x$ -Wert, für den $f(x) = 0$ ist.
Also: $2 \cdot e^{\frac{1}{2} x} - 1 = 0$

STEP 4

Jetzt lösen wir nach $x$ auf.
Zuerst addieren wir 1 zu beiden Seiten, um die -1 auf der linken Seite zu eliminieren: $2 \cdot e^{\frac{1}{2} x} = 1$ Dann dividieren wir beide Seiten durch 2, um das $e$ alleine zu bekommen: $e^{\frac{1}{2} x} = \frac{1}{2}$

STEP 5

Jetzt kommt der natürliche Logarithmus ins Spiel!
Wir wenden den Logarithmus auf beiden Seiten an: $\ln\left(e^{\frac{1}{2} x}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ Dadurch wird der Exponent auf der linken Seite zum Faktor: $\frac{1}{2} x = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

STEP 6

Zum Schluss multiplizieren wir beide Seiten mit 2, um nach $x$ aufzulösen: $x = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ Das ist unsere Nullstelle!

STEP 7

Für die Tangente brauchen wir die Ableitung von $f(x)$ .
Die Ableitung von $2 \cdot e^{\frac{1}{2} x} - 1$ ist: $f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} = e^{\frac{1}{2} x}$

STEP 8

Die Steigung der Tangente im Punkt $S(0|1)$ ist $f'(0)$ : $f'(0) = e^{\frac{1}{2} \cdot 0} = e^0 = 1$ Die Steigung ist also 1!

STEP 9

Mit der Punkt-Steigungs-Form $y - y_1 = m(x - x_1)$ und dem Punkt $S(0|1)$ und der Steigung $m = 1$ erhalten wir: $y - 1 = 1(x - 0)$ Vereinfacht: $y = x + 1$

STEP 10

Schnittpunkt mit der x-Achse (y=0): $0 = x + 1 \Rightarrow x = -1$ .
Der Punkt ist $(-1|0)$ . Schnittpunkt mit der y-Achse (x=0): $y = 0 + 1 \Rightarrow y = 1$ .
Der Punkt ist $(0|1)$ .

STEP 11

Die Länge der Katheten sind der Betrag der Koordinaten der Schnittpunkte: $|1| = 1$ und $|{-1}| = 1$ .

STEP 12

Beide Katheten haben die Länge 1.
Das Dreieck ist also gleichschenklig!

STEP 13

Die Nullstelle von $f(x)$ ist $x = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ .
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0|1)$ bildet mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck, da beide Katheten die Länge 1 haben.

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STEP 1

Was ist das? Wir haben eine Funktion f(x)f(x)f(x) und sollen ihre Nullstellen finden und zeigen, dass die Tangente am Punkt S(0∣1)S(0|1)S(0∣1) mit den Achsen ein gleichschenkliges Dreieck bildet. Vorsicht! Nicht eee vergessen!Und die Tangentengleichung braucht man auch!

STEP 2

1. Nullstellen finden2. Tangente bestimmen3. Dreieck überprüfen

STEP 3

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktion f(x)f(x)f(x) gleich Null!Das heißt, wir suchen den xxx-Wert, für den f(x)=0f(x) = 0f(x)=0 ist.Also: 2⋅e12x−1=02 \cdot e^{\frac{1}{2} x} - 1 = 02⋅e21​x−1=0

STEP 4

STEP 5

STEP 6

Zum Schluss multiplizieren wir beide Seiten mit **2**, um nach xxx aufzulösen: x=2⋅ln⁡(12)x = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)x=2⋅ln(21​) Das ist unsere **Nullstelle**!

STEP 7

Für die Tangente brauchen wir die Ableitung von f(x)f(x)f(x).Die Ableitung von 2⋅e12x−12 \cdot e^{\frac{1}{2} x} - 12⋅e21​x−1 ist: f′(x)=2⋅12⋅e12x=e12xf'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} = e^{\frac{1}{2} x}f′(x)=2⋅21​⋅e21​x=e21​x

STEP 8

Die Steigung der Tangente im Punkt S(0∣1)S(0|1)S(0∣1) ist f′(0)f'(0)f′(0): f′(0)=e12⋅0=e0=1f'(0) = e^{\frac{1}{2} \cdot 0} = e^0 = 1f′(0)=e21​⋅0=e0=1 Die **Steigung** ist also **1**!

STEP 9

Mit der Punkt-Steigungs-Form y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)y−y1​=m(x−x1​) und dem Punkt S(0∣1)S(0|1)S(0∣1) und der Steigung m=1m = 1m=1 erhalten wir: y−1=1(x−0)y - 1 = 1(x - 0)y−1=1(x−0) Vereinfacht: y=x+1y = x + 1y=x+1

STEP 10

Schnittpunkt mit der x-Achse (y=0): 0=x+1⇒x=−10 = x + 1 \Rightarrow x = -10=x+1⇒x=−1.Der Punkt ist (−1∣0)(-1|0)(−1∣0). Schnittpunkt mit der y-Achse (x=0): y=0+1⇒y=1y = 0 + 1 \Rightarrow y = 1y=0+1⇒y=1.Der Punkt ist (0∣1)(0|1)(0∣1).

STEP 11

Die Länge der Katheten sind der Betrag der Koordinaten der Schnittpunkte: ∣1∣=1|1| = 1∣1∣=1 und ∣−1∣=1|{-1}| = 1∣−1∣=1.

STEP 12

Beide Katheten haben die Länge **1**.Das Dreieck ist also gleichschenklig!

STEP 13

Die Nullstelle von f(x)f(x)f(x) ist x=2⋅ln⁡(12)x = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)x=2⋅ln(21​).Die Tangente an den Graphen von fff im Punkt S(0∣1)S(0|1)S(0∣1) bildet mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck, da beide Katheten die Länge 1 haben.

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Und die Tangentengleichung braucht man auch!

1. Nullstellen finden
2. Tangente bestimmen
3. Dreieck überprüfen

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktion $f(x)$ gleich Null!
Das heißt, wir suchen den $x$ -Wert, für den $f(x) = 0$ ist.
Also: $2 \cdot e^{\frac{1}{2} x} - 1 = 0$

Zum Schluss multiplizieren wir beide Seiten mit 2, um nach $x$ aufzulösen: $x = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ Das ist unsere Nullstelle!

Für die Tangente brauchen wir die Ableitung von $f(x)$ .
Die Ableitung von $2 \cdot e^{\frac{1}{2} x} - 1$ ist: $f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} = e^{\frac{1}{2} x}$

Die Steigung der Tangente im Punkt $S(0|1)$ ist $f'(0)$ : $f'(0) = e^{\frac{1}{2} \cdot 0} = e^0 = 1$ Die Steigung ist also 1!

Mit der Punkt-Steigungs-Form $y - y_1 = m(x - x_1)$ und dem Punkt $S(0|1)$ und der Steigung $m = 1$ erhalten wir: $y - 1 = 1(x - 0)$ Vereinfacht: $y = x + 1$

Schnittpunkt mit der x-Achse (y=0): $0 = x + 1 \Rightarrow x = -1$ .
Der Punkt ist $(-1|0)$ . Schnittpunkt mit der y-Achse (x=0): $y = 0 + 1 \Rightarrow y = 1$ .
Der Punkt ist $(0|1)$ .

Die Länge der Katheten sind der Betrag der Koordinaten der Schnittpunkte: $|1| = 1$ und $|{-1}| = 1$ .

Beide Katheten haben die Länge 1.
Das Dreieck ist also gleichschenklig!

Die Nullstelle von $f(x)$ ist $x = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$ .
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0|1)$ bildet mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck, da beide Katheten die Länge 1 haben.