Math  /  Algebra

Question13. Die (mittlere) Geschwindigkeit v eines Fahrzeuges ( vv in m/s\mathrm{m} / \mathrm{s} ) ist zur Zeitdauer tt ( tt in s ) bei konstant zurückgelegtem Weg s ( s in m ) indirekt proportional, d.h. wird die Zeitdauer t \qquad , nimmt die Geschwindigkeit \qquad , wird die Zeitdauer kleiner, nimmt die Geschwindigkeit \qquad . Es gilt das Gesetz: v • t= s a. Stellen Sie eine Funktionsgleichung v(t)v(t) auf, die jeder Zeitdauer t(sec)t(\mathrm{sec}) die ihr entsprechende Geschwindigkeit v ( m/s)\mathrm{m} / \mathrm{s}) bei konstantem Weg s(m)\mathrm{s}(\mathrm{m}) zuordnet. b. Skizzieren Sie einen möglichen Funktionsgrafen für v(t)v(t) für 10<t<5010<t<50, wenn für den zurückgelegten Weg s gilt: s=2 km\mathrm{s}=2 \mathrm{~km}

Studdy Solution

STEP 1

Was will die Aufgabe von uns? Wir sollen eine Formel aufstellen, die die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs berechnet, wenn die Zeit und die zurückgelegte Strecke bekannt sind.
Dann sollen wir diese Formel grafisch darstellen. Vorsicht! Wir müssen die Einheiten im Auge behalten!
Kilometer in Meter umrechnen nicht vergessen!

STEP 2

1. Formel aufstellen
2. Graph skizzieren

STEP 3

Wir wissen, dass die Geschwindigkeit vv indirekt proportional zur Zeit tt ist, wenn die Strecke ss konstant ist.
Das bedeutet: vt=sv \cdot t = s.

STEP 4

Wir wollen eine Funktion v(t)v(t) erstellen.
Dazu müssen wir die Gleichung nach vv **auflösen**.
Wir **dividieren** beide Seiten der Gleichung durch tt, um vv zu isolieren.
Das ist erlaubt, weil tt größer als Null ist.
Wir erhalten: vtt=st \frac{v \cdot t}{t} = \frac{s}{t} v=st v = \frac{s}{t}

STEP 5

Super! Unsere Funktionsgleichung lautet also v(t)=stv(t) = \frac{s}{t}.
Hier ist ss die **konstante Strecke** und tt die **Zeit**.

STEP 6

Wir sollen den Graphen für 10<t<5010 < t < 50 skizzieren, wenn s=2s = 2 km ist.
Zuerst müssen wir die **Kilometer in Meter umrechnen**: 22 km sind 20002000 m.
Also ist s=2000s = 2000.

STEP 7

Unsere Funktionsgleichung lautet nun v(t)=2000tv(t) = \frac{2000}{t}.
Das ist eine **indirekt proportionale Funktion**.
Das bedeutet, je größer tt wird, desto kleiner wird vv, und umgekehrt.

STEP 8

Um den Graphen zu skizzieren, berechnen wir ein paar **Beispielwerte**: * Für t=10t = 10: v(10)=200010=200v(10) = \frac{2000}{10} = 200 m/s * Für t=20t = 20: v(20)=200020=100v(20) = \frac{2000}{20} = 100 m/s * Für t=50t = 50: v(50)=200050=40v(50) = \frac{2000}{50} = 40 m/s

STEP 9

Wir tragen diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, wobei die x-Achse die Zeit tt und die y-Achse die Geschwindigkeit vv darstellt.
Da es sich um eine indirekt proportionale Funktion handelt, erhalten wir eine **fallende Kurve**, die sich der x-Achse annähert, sie aber nie berührt.

STEP 10

a. Die Funktionsgleichung lautet v(t)=stv(t) = \frac{s}{t}. b. Der Graph ist eine fallende Kurve im Bereich 10<t<5010 < t < 50, die durch die Punkte (10,200)(10, 200), (20,100)(20, 100) und (50,40)(50, 40) verläuft.

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