Math / Geometry

Question16 km 20 km 12 km

Studdy Solution

STEP 1

1. El triángulo es un triángulo rectángulo inscrito en un semicírculo, lo que significa que su hipotenusa es el diámetro del semicírculo.
2. Las longitudes de los catetos del triángulo son 16 km y 12 km.
3. La longitud de la hipotenusa del triángulo es 20 km.
4. Se puede usar el teorema de Pitágoras para verificar las longitudes de los lados del triángulo.
5. La circunferencia del semicírculo se puede calcular usando la longitud del diámetro (hipotenusa del triángulo).

STEP 2

1. Verificar las longitudes de los lados del triángulo usando el teorema de Pitágoras.
2. Calcular la longitud del diámetro del semicírculo.
3. Calcular la circunferencia completa del círculo y luego dividir por 2 para obtener la circunferencia del semicírculo.
4. Calcular el área del semicírculo.

STEP 3

Verificar las longitudes de los lados del triángulo usando el teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras establece que para un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b$ y hipotenusa $c$ , se cumple que:
$a^2 + b^2 = c^2$
Para nuestro triángulo con $a = 16 \, \text{km}$ , $b = 12 \, \text{km}$ , y $c = 20 \, \text{km}$ :
$16^2 + 12^2 = 20^2$
$256 + 144 = 400$
$400 = 400$
Esto confirma que las longitudes de los lados son correctas.

STEP 4

Calcular la longitud del diámetro del semicírculo.
La hipotenusa del triángulo es el diámetro del semicírculo, así que:
$\text{Diámetro} = 20 \, \text{km}$

STEP 5

Calcular la circunferencia completa del círculo y luego dividir por 2 para obtener la circunferencia del semicírculo.
La fórmula para la circunferencia de un círculo es:
$\text{Circunferencia} = \pi \times \text{diámetro}$
Para el círculo completo:
$\text{Circunferencia del círculo completo} = \pi \times 20 \, \text{km} = 20\pi \, \text{km}$
La circunferencia del semicírculo es la mitad de esto:
$\text{Circunferencia del semicírculo} = \frac{20\pi}{2} = 10\pi \, \text{km}$

STEP 6

Calcular el área del semicírculo usando la fórmula del área de un círculo, que es:
$\text{Área del círculo} = \pi \times \left(\frac{\text{diámetro}}{2}\right)^2$
Para el círculo completo:
$\text{Área del círculo completo} = \pi \times \left(\frac{20}{2}\right)^2 = \pi \times 10^2 = 100\pi \, \text{km}^2$
El área del semicírculo es la mitad de esto:
$\text{Área del semicírculo} = \frac{100\pi}{2} = 50\pi \, \text{km}^2$
Solución Final: La circunferencia del semicírculo es $10\pi \, \text{km}$ y el área del semicírculo es $50\pi \, \text{km}^2$ .

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