Question$$\begin{array}{l} \text { : (2) (2) } \\ x-\ln x>0 \end{array}$$ $$\begin{array}{l} \ln \ln \left(g_{c}\right): f(x)=\frac{\ln x}{x-\ln x}: x>0 \\ \text { 3-3h11 } f(0)=-1 \end{array}$$ $$\begin{array}{l} \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \text { با. } \end{array}$$ $$\begin{array}{l} f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{(x-\ln x)^{2}} \end{array}$$ $$\begin{array}{l} \text { المحدادل } \end{array}$$

STEP 1

STEP 2

تحديد مجال الدالة $f(x) = \frac{\ln x}{x - \ln x}$:
- يجب أن يكون $x > 0$ لأن اللوغاريتم الطبيعي غير معرف للأعداد غير الموجبة. - يجب أن يكون $x - \ln x \neq 0$ لتجنب القسمة على صفر.

STEP 3

حل المعادلة $x - \ln x = 0$ لتحديد القيم التي يجب استبعادها من المجال:
- هذه معادلة غير خطية ولا يمكن حلها جبريًا بسهولة، ولكن يمكن استخدام طرق عددية أو رسم بياني لتقدير الحل.

STEP 4

حساب النهاية $\lim_{x \to +\infty} f(x)$:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x - \ln x}$$
- بسط الكسر باستخدام قواعد النهايات.

STEP 5

حساب المشتقة $f'(x)$:
$$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{(x - \ln x)^2}$$
- استخدم قاعدة القسمة للمشتقات.
النهاية والمشتقة تم حسابهما، والمجال يتطلب حل عددي أو بياني.