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Question2. A) Usando el método de los coeficientes indeterminados, hallar T(x)T(x) de tercer grado sabiendo que T(−2)=−140T(-2)=-140, que T(0)=−18T(0)=-18, que una de sus raíces es x=3x=3, y que el coeficiente principal de T(x)T(x) es 5 .

Studdy Solution

STEP 1

1. T(x) T(x) es un polinomio de tercer grado.
2. T(−2)=−140 T(-2) = -140 .
3. T(0)=−18 T(0) = -18 .
4. Una de las raíces de T(x) T(x) es x=3 x = 3 .
5. El coeficiente principal de T(x) T(x) es 5.

STEP 2

1. Expresar T(x) T(x) en términos de sus coeficientes.
2. Usar la información de las raíces y el coeficiente principal para determinar la forma de T(x) T(x) .
3. Sustituir los valores dados para encontrar los coeficientes restantes.
4. Verificar la solución con las condiciones dadas.

STEP 3

Expresar T(x) T(x) como un polinomio de tercer grado:
T(x)=ax3+bx2+cx+d T(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Dado que el coeficiente principal es 5, tenemos:
a=5 a = 5
Por lo tanto:
T(x)=5x3+bx2+cx+d T(x) = 5x^3 + bx^2 + cx + d

STEP 4

Usar la raíz x=3 x = 3 para expresar T(x) T(x) :
Si x=3 x = 3 es una raíz, entonces (x−3) (x - 3) es un factor de T(x) T(x) .
Por lo tanto, podemos escribir:
T(x)=5(x−3)(x2+px+q) T(x) = 5(x - 3)(x^2 + px + q)
Expandir para obtener la forma general:
T(x)=5(x3+px2+qx−3x2−3px−3q) T(x) = 5(x^3 + px^2 + qx - 3x^2 - 3px - 3q) T(x)=5(x3+(p−3)x2+(q−3p)x−3q) T(x) = 5(x^3 + (p-3)x^2 + (q-3p)x - 3q)

STEP 5

Usar T(0)=−18 T(0) = -18 :
T(0)=5(0−3)(02+p⋅0+q)=−18 T(0) = 5(0 - 3)(0^2 + p \cdot 0 + q) = -18 T(0)=−15q=−18 T(0) = -15q = -18 q=1815=65 q = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}

STEP 6

Usar T(−2)=−140 T(-2) = -140 :
T(−2)=5((−2)−3)((−2)2+p(−2)+q)=−140 T(-2) = 5((-2) - 3)((-2)^2 + p(-2) + q) = -140 T(−2)=5(−5)(4−2p+65)=−140 T(-2) = 5(-5)(4 - 2p + \frac{6}{5}) = -140 −25(4−2p+65)=−140 -25(4 - 2p + \frac{6}{5}) = -140 −25(205−10p5+65)=−140 -25(\frac{20}{5} - \frac{10p}{5} + \frac{6}{5}) = -140 −25(265−10p5)=−140 -25(\frac{26}{5} - \frac{10p}{5}) = -140 −25(26−10p5)=−140 -25(\frac{26 - 10p}{5}) = -140 −5(26−10p)=−140 -5(26 - 10p) = -140 −130+50p=−140 -130 + 50p = -140 50p=−10 50p = -10 p=−15 p = -\frac{1}{5}

STEP 7

Verificar la solución:
Reemplazar p=−15 p = -\frac{1}{5} y q=65 q = \frac{6}{5} en T(x) T(x) :
T(x)=5(x−3)(x2−15x+65) T(x) = 5(x - 3)(x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{6}{5})
Verificar que T(0)=−18 T(0) = -18 y T(−2)=−140 T(-2) = -140 se cumplen con estos valores.
La forma de T(x) T(x) es:
T(x)=5(x−3)(x2−15x+65) T(x) = 5(x - 3)(x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{6}{5})

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