Math  /  Data & Statistics

Question2. If P(A)=0.6,P(AB)=0.8P(A)=0.6, P(A \cup B)=0.8, and the events AA and BB are independent, then compute the probability of BB
3. Consider the following summary for Gender and Preferred place to study \begin{tabular}{c|c|c|c|c} & Library & Home & Cafeteria & \\ \hline Male & 55 & 40 & 35 & \\ \hline Female & 100 & 50 & 20 & \\ \hline & & & & 300 \end{tabular} (a) If we select a student at random, what is the probability that the student is male and prefer library (b) If a student prefers to study at home, what is the probability that the student is Male (c) If M={M=\{ student is male\}, H={H=\{ student prefers to study at Home }\}, then are MM and HH independent Explain

Studdy Solution

STEP 1

ما هو المطلوب؟ المسألة الأولى تطلب حساب احتمال وقوع الحدث B إذا كان الحدثان A و B مستقلين، مع العلم باحتمال وقوع A واحتمال وقوع A أو B.
أما المسألة الثانية فتطلب حساب احتمالات تتعلق بتفضيلات الطلاب لمكان الدراسة وتوزيعهم حسب الجنس. انتبه! في المسألة الأولى، يجب الانتباه إلى معنى استقلال الحدثين.
أما في المسألة الثانية، فيجب الانتباه إلى حساب الاحتمالات الشرطية بشكل صحيح.

STEP 2

1. حساب احتمال B في المسألة الأولى.
2. حساب الاحتمالات المطلوبة في المسألة الثانية.

STEP 3

لأن الحدثين A و B مستقلين، فإن P(AB)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
ونعلم أن P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

STEP 4

بالتعويض بالقيم المعطاة، نحصل على 0.8=0.6+P(B)(0.6P(B))0.8 = 0.6 + P(B) - (0.6 \cdot P(B)).

STEP 5

يمكن تبسيط المعادلة إلى 0.2=0.4P(B)0.2 = 0.4 \cdot P(B).

STEP 6

بقسمة الطرفين على 0.40.4، نحصل على P(B)=0.20.4=0.5P(B) = \frac{0.2}{0.4} = 0.5.
إذن، احتمال وقوع الحدث B هو **0.5**.

STEP 7

مجموع الطلاب هو **300**.

STEP 8

عدد الذكور الذين يفضلون المكتبة هو **55**.
إذن، الاحتمال هو 55300=1160\frac{55}{300} = \frac{11}{60}.

STEP 9

عدد الطلاب الذين يفضلون الدراسة في المنزل هو 40+50=9040 + 50 = 90.
عدد الذكور الذين يفضلون الدراسة في المنزل هو **40**.
إذن، الاحتمال هو 4090=49\frac{40}{90} = \frac{4}{9}.

STEP 10

لنفترض أن M هو حدث أن يكون الطالب ذكرًا، و H هو حدث أن يفضل الطالب الدراسة في المنزل. P(M)=55+40+35300=130300=1330P(M) = \frac{55+40+35}{300} = \frac{130}{300} = \frac{13}{30}.
و P(H)=40+50300=90300=310P(H) = \frac{40+50}{300} = \frac{90}{300} = \frac{3}{10}.
و P(MH)=40300=215P(M \cap H) = \frac{40}{300} = \frac{2}{15}.
إذا كان الحدثان مستقلين، لكان P(MH)=P(M)P(H)P(M \cap H) = P(M) \cdot P(H).
ولكن 1330310=13100\frac{13}{30} \cdot \frac{3}{10} = \frac{13}{100} وهي لا تساوي 215\frac{2}{15}.
إذن، الحدثان **ليسَا مستقلين**.

STEP 11

1. احتمال وقوع الحدث B هو **0.5**.
2. (a) احتمال أن يكون الطالب ذكرًا ويحب الدراسة في المكتبة هو 1160\frac{11}{60}. (b) احتمال أن يكون الطالب ذكرًا إذا كان يفضل الدراسة في المنزل هو 49\frac{4}{9}. (c) الحدثان M و H ليسا مستقلين.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord