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STEP 1

1. Die Eckpunkte des dreieckigen Kunstwerks sind $P(1|4|2)$, $Q(6|1|4)$ und $R(3|2|0)$.
2. Die parallelen Lichtstrahlen verlaufen in Richtung $\left(\begin{array}{r}-2 \\ -3 \\ 0\end{array}\right)$.
3. Die punktförmige Lichtquelle befindet sich am Punkt $L(2|9|0)$.
4. Der Schatten fällt auf die Wand, die sich in der $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3}$-Ebene befindet.

STEP 2

1. Bestimmen Sie die Schattenpunkte bei paralleler Beleuchtung.
2. Bestimmen Sie die Schattenpunkte bei punktförmiger Beleuchtung.
3. Berechnen Sie die Eckpunkte der beiden Schattendreiecke.

STEP 3

Um die Schattenpunkte bei paralleler Beleuchtung zu bestimmen, müssen wir die Projektion der Punkte $P$, $Q$ und $R$ auf die $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3}$-Ebene entlang der Richtung $\left(\begin{array}{r}-2 \\ -3 \\ 0\end{array}\right)$ berechnen.

STEP 4

Berechnen Sie die Projektion von Punkt $P(1|4|2)$:
- Der Schattenpunkt $P'$ liegt auf der $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3}$-Ebene, also ist die $y$-Koordinate von $P'$ gleich Null.
- Verwenden Sie die Richtung $\left(\begin{array}{r}-2 \\ -3 \\ 0\end{array}\right)$, um die Gleichung aufzustellen:
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}$$ - Lösen Sie für $t$, wenn $y = 0$.

STEP 5

Setzen Sie $y = 0$ in die Gleichung ein:
$$4 - 3t = 0$$ $$t = \frac{4}{3}$$ Berechnen Sie die Koordinaten von $P'$:
$$x = 1 - 2 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{5}{3}$$ $$z = 2 + 0 \cdot \frac{4}{3} = 2$$ Der Schattenpunkt $P'$ ist $\left(-\frac{5}{3}, 0, 2\right)$.

STEP 6

Wiederholen Sie den Prozess für Punkt $Q(6|1|4)$:
- Setzen Sie $y = 0$ in die Gleichung ein:
$$1 - 3t = 0$$ $$t = \frac{1}{3}$$ Berechnen Sie die Koordinaten von $Q'$:
$$x = 6 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$$ $$z = 4 + 0 \cdot \frac{1}{3} = 4$$ Der Schattenpunkt $Q'$ ist $\left(\frac{16}{3}, 0, 4\right)$.

STEP 7

Wiederholen Sie den Prozess für Punkt $R(3|2|0)$:
- Setzen Sie $y = 0$ in die Gleichung ein:
$$2 - 3t = 0$$ $$t = \frac{2}{3}$$ Berechnen Sie die Koordinaten von $R'$:
$$x = 3 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$ $$z = 0 + 0 \cdot \frac{2}{3} = 0$$ Der Schattenpunkt $R'$ ist $\left(\frac{5}{3}, 0, 0\right)$.

STEP 8

Um die Schattenpunkte bei punktförmiger Beleuchtung zu bestimmen, projizieren wir die Punkte $P$, $Q$ und $R$ auf die $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3}$-Ebene entlang der Linien, die von $L(2|9|0)$ zu jedem Punkt verlaufen.

STEP 9

Berechnen Sie die Projektion von Punkt $P(1|4|2)$:
- Der Schattenpunkt $P''$ liegt auf der $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3}$-Ebene, also ist die $y$-Koordinate von $P''$ gleich Null.
- Verwenden Sie die Linie von $L$ zu $P$:
$$\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} + t \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}$$ - Lösen Sie für $t$, wenn $y = 0$.

STEP 10

Setzen Sie $y = 0$ in die Gleichung ein:
$$9 + t(4 - 9) = 0$$ $$9 - 5t = 0$$ $$t = \frac{9}{5}$$ Berechnen Sie die Koordinaten von $P''$:
$$x = 2 + \frac{9}{5}(1 - 2) = -\frac{7}{5}$$ $$z = 0 + \frac{9}{5}(2 - 0) = \frac{18}{5}$$ Der Schattenpunkt $P''$ ist $\left(-\frac{7}{5}, 0, \frac{18}{5}\right)$.

STEP 11

Wiederholen Sie den Prozess für Punkt $Q(6|1|4)$:
- Setzen Sie $y = 0$ in die Gleichung ein:
$$9 + t(1 - 9) = 0$$ $$9 - 8t = 0$$ $$t = \frac{9}{8}$$ Berechnen Sie die Koordinaten von $Q''$:
$$x = 2 + \frac{9}{8}(6 - 2) = \frac{19}{4}$$ $$z = 0 + \frac{9}{8}(4 - 0) = \frac{9}{2}$$ Der Schattenpunkt $Q''$ ist $\left(\frac{19}{4}, 0, \frac{9}{2}\right)$.

STEP 12

Wiederholen Sie den Prozess für Punkt $R(3|2|0)$:
- Setzen Sie $y = 0$ in die Gleichung ein:
$$9 + t(2 - 9) = 0$$ $$9 - 7t = 0$$ $$t = \frac{9}{7}$$ Berechnen Sie die Koordinaten von $R''$:
$$x = 2 + \frac{9}{7}(3 - 2) = \frac{23}{7}$$ $$z = 0 + \frac{9}{7}(0 - 0) = 0$$ Der Schattenpunkt $R''$ ist $\left(\frac{23}{7}, 0, 0\right)$.

Die Eckpunkte des Schattendreiecks bei paralleler Beleuchtung sind:
$$P' = \left(-\frac{5}{3}, 0, 2\right), Q' = \left(\frac{16}{3}, 0, 4\right), R' = \left(\frac{5}{3}, 0, 0\right)$$ Die Eckpunkte des Schattendreiecks bei punktförmiger Beleuchtung sind:
$$P'' = \left(-\frac{7}{5}, 0, \frac{18}{5}\right), Q'' = \left(\frac{19}{4}, 0, \frac{9}{2}\right), R'' = \left(\frac{23}{7}, 0, 0\right)$$