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Question2 In einer Kunstgalerie wird ein dreieckiges Kunstwerk mit den Eckpunkten P(142),Q(614)P(1|4| 2), Q(6|1| 4) und R(320)R(3|2| 0) vormittags mit parallelen Lichtstrahlen, die in Richtung (230)\left(\begin{array}{r}-2 \\ -3 \\ 0\end{array}\right) verlaufen, und nachmittags mit einer punktförmigen Lichtquelle vom Punkt L(290)L(2|9| 0) angestrahlt. Der Schatten trifft auf die Wand, die sich in der x1x3\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3}-Ebene befindet. (Alle Angaben in Metern.) Bestimmen Sie die Eckpunkte der beiden Schattendreiecke.

Studdy Solution

STEP 1

1. Die Eckpunkte des dreieckigen Kunstwerks sind P(142) P(1|4|2) , Q(614) Q(6|1|4) und R(320) R(3|2|0) .
2. Die parallelen Lichtstrahlen verlaufen in Richtung (230) \left(\begin{array}{r}-2 \\ -3 \\ 0\end{array}\right) .
3. Die punktförmige Lichtquelle befindet sich am Punkt L(290) L(2|9|0) .
4. Der Schatten fällt auf die Wand, die sich in der x1x3 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3} -Ebene befindet.

STEP 2

1. Bestimmen Sie die Schattenpunkte bei paralleler Beleuchtung.
2. Bestimmen Sie die Schattenpunkte bei punktförmiger Beleuchtung.
3. Berechnen Sie die Eckpunkte der beiden Schattendreiecke.

STEP 3

Um die Schattenpunkte bei paralleler Beleuchtung zu bestimmen, müssen wir die Projektion der Punkte P P , Q Q und R R auf die x1x3 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3} -Ebene entlang der Richtung (230) \left(\begin{array}{r}-2 \\ -3 \\ 0\end{array}\right) berechnen.

STEP 4

Berechnen Sie die Projektion von Punkt P(142) P(1|4|2) : - Der Schattenpunkt P P' liegt auf der x1x3 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3} -Ebene, also ist die y y -Koordinate von P P' gleich Null. - Verwenden Sie die Richtung (230) \left(\begin{array}{r}-2 \\ -3 \\ 0\end{array}\right) , um die Gleichung aufzustellen: (142)+t(230)=(x0z) \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix} - Lösen Sie für t t , wenn y=0 y = 0 .

STEP 5

Setzen Sie y=0 y = 0 in die Gleichung ein: 43t=0 4 - 3t = 0 t=43 t = \frac{4}{3}
Berechnen Sie die Koordinaten von P P' : x=1243=53 x = 1 - 2 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{5}{3} z=2+043=2 z = 2 + 0 \cdot \frac{4}{3} = 2
Der Schattenpunkt P P' ist (53,0,2) \left(-\frac{5}{3}, 0, 2\right) .

STEP 6

Wiederholen Sie den Prozess für Punkt Q(614) Q(6|1|4) : - Setzen Sie y=0 y = 0 in die Gleichung ein: 13t=0 1 - 3t = 0 t=13 t = \frac{1}{3}
Berechnen Sie die Koordinaten von Q Q' : x=6213=163 x = 6 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3} z=4+013=4 z = 4 + 0 \cdot \frac{1}{3} = 4
Der Schattenpunkt Q Q' ist (163,0,4) \left(\frac{16}{3}, 0, 4\right) .

STEP 7

Wiederholen Sie den Prozess für Punkt R(320) R(3|2|0) : - Setzen Sie y=0 y = 0 in die Gleichung ein: 23t=0 2 - 3t = 0 t=23 t = \frac{2}{3}
Berechnen Sie die Koordinaten von R R' : x=3223=53 x = 3 - 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{5}{3} z=0+023=0 z = 0 + 0 \cdot \frac{2}{3} = 0
Der Schattenpunkt R R' ist (53,0,0) \left(\frac{5}{3}, 0, 0\right) .

STEP 8

Um die Schattenpunkte bei punktförmiger Beleuchtung zu bestimmen, projizieren wir die Punkte P P , Q Q und R R auf die x1x3 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3} -Ebene entlang der Linien, die von L(290) L(2|9|0) zu jedem Punkt verlaufen.

STEP 9

Berechnen Sie die Projektion von Punkt P(142) P(1|4|2) : - Der Schattenpunkt P P'' liegt auf der x1x3 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3} -Ebene, also ist die y y -Koordinate von P P'' gleich Null. - Verwenden Sie die Linie von L L zu P P : (290)+t((142)(290))=(x0z) \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} + t \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix} - Lösen Sie für t t , wenn y=0 y = 0 .

STEP 10

Setzen Sie y=0 y = 0 in die Gleichung ein: 9+t(49)=0 9 + t(4 - 9) = 0 95t=0 9 - 5t = 0 t=95 t = \frac{9}{5}
Berechnen Sie die Koordinaten von P P'' : x=2+95(12)=75 x = 2 + \frac{9}{5}(1 - 2) = -\frac{7}{5} z=0+95(20)=185 z = 0 + \frac{9}{5}(2 - 0) = \frac{18}{5}
Der Schattenpunkt P P'' ist (75,0,185) \left(-\frac{7}{5}, 0, \frac{18}{5}\right) .

STEP 11

Wiederholen Sie den Prozess für Punkt Q(614) Q(6|1|4) : - Setzen Sie y=0 y = 0 in die Gleichung ein: 9+t(19)=0 9 + t(1 - 9) = 0 98t=0 9 - 8t = 0 t=98 t = \frac{9}{8}
Berechnen Sie die Koordinaten von Q Q'' : x=2+98(62)=194 x = 2 + \frac{9}{8}(6 - 2) = \frac{19}{4} z=0+98(40)=92 z = 0 + \frac{9}{8}(4 - 0) = \frac{9}{2}
Der Schattenpunkt Q Q'' ist (194,0,92) \left(\frac{19}{4}, 0, \frac{9}{2}\right) .

STEP 12

Wiederholen Sie den Prozess für Punkt R(320) R(3|2|0) : - Setzen Sie y=0 y = 0 in die Gleichung ein: 9+t(29)=0 9 + t(2 - 9) = 0 97t=0 9 - 7t = 0 t=97 t = \frac{9}{7}
Berechnen Sie die Koordinaten von R R'' : x=2+97(32)=237 x = 2 + \frac{9}{7}(3 - 2) = \frac{23}{7} z=0+97(00)=0 z = 0 + \frac{9}{7}(0 - 0) = 0
Der Schattenpunkt R R'' ist (237,0,0) \left(\frac{23}{7}, 0, 0\right) .

STEP 13

Die Eckpunkte des Schattendreiecks bei paralleler Beleuchtung sind: P=(53,0,2),Q=(163,0,4),R=(53,0,0) P' = \left(-\frac{5}{3}, 0, 2\right), Q' = \left(\frac{16}{3}, 0, 4\right), R' = \left(\frac{5}{3}, 0, 0\right)
Die Eckpunkte des Schattendreiecks bei punktförmiger Beleuchtung sind: P=(75,0,185),Q=(194,0,92),R=(237,0,0) P'' = \left(-\frac{7}{5}, 0, \frac{18}{5}\right), Q'' = \left(\frac{19}{4}, 0, \frac{9}{2}\right), R'' = \left(\frac{23}{7}, 0, 0\right)

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