Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Question2. Найдите пределы следующих последовательностей: 2.1. xn=(5n2−35n2+1)nx_{n}=\left(\frac{5 n^{2}-3}{5 n^{2}+1}\right)^{n} 2.2. xn=4n4+2n−3n(3n−2)(n+1−2n2)x_{n}=\frac{4 n^{4}+2 n-3}{n(3 n-2)\left(n+1-2 n^{2}\right)} 2.3. xn=(1−3n20)1−5nx_{n}=\left(\frac{1-3 n}{20}\right)^{1-5 n} 2.4. xn=4n2+3n+7−2nx_{n}=\sqrt{4 n^{2}+3 n+7}-2 n

Studdy Solution

STEP 1

О чем это спрашивается? Нам нужно найти пределы четырех последовательностей. Осторожно! Не забывайте про свойства степеней и логарифмов, а также про замечательные пределы!

STEP 2

1. Предел первой последовательности
2. Предел второй последовательности
3. Предел третьей последовательности
4. Предел четвертой последовательности

STEP 3

**Ищем** предел xn=(5n2−35n2+1)nx_{n}=\left(\frac{5 n^{2}-3}{5 n^{2}+1}\right)^{n}.
Это выглядит как неопределенность типа 1∞1^\infty, поэтому **воспользуемся** вторым замечательным пределом: lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e.

STEP 4

**Преобразуем** выражение: (5n2−35n2+1)n=(5n2+1−45n2+1)n=(1−45n2+1)n \left(\frac{5 n^{2}-3}{5 n^{2}+1}\right)^{n} = \left(\frac{5 n^{2}+1-4}{5 n^{2}+1}\right)^{n} = \left(1 - \frac{4}{5 n^{2}+1}\right)^{n}

STEP 5

**Продолжим преобразования**, чтобы **привести** к виду второго замечательного предела: (1−45n2+1)n=[(1−45n2+1)5n2+1−4]−4n5n2+1 \left(1 - \frac{4}{5 n^{2}+1}\right)^{n} = \left[\left(1 - \frac{4}{5 n^{2}+1}\right)^{\frac{5n^2+1}{-4}}\right]^{\frac{-4n}{5n^2+1}}

STEP 6

Теперь, когда n→∞n \to \infty, выражение в квадратных скобках **стремится** к ee, а показатель степени −4n5n2+1\frac{-4n}{5n^2+1} **стремится** к нулю.
Поэтому **получаем**: lim⁡n→∞xn=e0=1 \lim_{n\to\infty} x_n = e^0 = 1

STEP 7

**Ищем** предел xn=4n4+2n−3n(3n−2)(n+1−2n2)x_{n}=\frac{4 n^{4}+2 n-3}{n(3 n-2)\left(n+1-2 n^{2}\right)}. **Раскроем** скобки в знаменателе: n(3n−2)(n+1−2n2)=(3n2−2n)(n+1−2n2)=−6n4+… n(3n-2)(n+1-2n^2) = (3n^2-2n)(n+1-2n^2) = -6n^4 + \dots Здесь нас интересует только **старшая степень** nn, так как остальные члены не будут влиять на предел при n→∞n \to \infty.

STEP 8

**Разделим** числитель и знаменатель на n4n^4: lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞4+2n3−3n4−6+…=4−6=−23 \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \frac{4 + \frac{2}{n^3} - \frac{3}{n^4}}{-6 + \dots} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}

STEP 9

**Ищем** предел xn=(1−3n20)1−5nx_{n}=\left(\frac{1-3 n}{20}\right)^{1-5 n}.
При n→∞n \to \infty основание дроби стремится к −∞-\infty, а показатель степени стремится к −∞-\infty.
Это **неопределенность** типа (−∞)−∞(-\infty)^{-\infty}.

STEP 10

**Перепишем** выражение, чтобы **избавиться** от отрицательных степеней: lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞1(1−3n20)5n−1 \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\left(\frac{1-3n}{20}\right)^{5n-1}} Так как ∣1−3n20∣→∞|\frac{1-3n}{20}| \to \infty при n→∞n \to \infty, знаменатель стремится к бесконечности, а значит, весь предел **стремится** к нулю.

STEP 11

**Ищем** предел xn=4n2+3n+7−2nx_{n}=\sqrt{4 n^{2}+3 n+7}-2 n.
Это неопределенность типа ∞−∞\infty - \infty. **Домножим** на сопряженное: xn=(4n2+3n+7−2n)(4n2+3n+7+2n)4n2+3n+7+2n=3n+74n2+3n+7+2n x_n = \frac{(\sqrt{4n^2+3n+7}-2n)(\sqrt{4n^2+3n+7}+2n)}{\sqrt{4n^2+3n+7}+2n} = \frac{3n+7}{\sqrt{4n^2+3n+7}+2n}

STEP 12

**Разделим** числитель и знаменатель на nn: lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞3+7n4+3n+7n2+2=34+2=34 \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} \frac{3 + \frac{7}{n}}{\sqrt{4 + \frac{3}{n} + \frac{7}{n^2}} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4}+2} = \frac{3}{4}

STEP 13

1. lim⁡n→∞xn=1\lim_{n\to\infty} x_n = 1
2. lim⁡n→∞xn=−23\lim_{n\to\infty} x_n = -\frac{2}{3}
3. lim⁡n→∞xn=0\lim_{n\to\infty} x_n = 0
4. lim⁡n→∞xn=34\lim_{n\to\infty} x_n = \frac{3}{4}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord