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Math  /  Trigonometry

Question2. Solve the following: 4sin⁡xcos⁡x+3=04 \sin x \cos x+\sqrt{3}=0 given 0≤x<2π0 \leq x<2 \pi 4sin⁡xcos⁡x+3=04(sin⁡xcos⁡x)+3=0\begin{array}{l} 4 \sin x \cos x+\sqrt{3}=0 \\ 4(\sin x \cos x)+\sqrt{3}=0 \end{array}

Studdy Solution

STEP 1

1. 我们需要在区间 0≤x<2π0 \leq x < 2\pi 内求解方程。
2. 使用三角恒等式可以简化方程。

STEP 2

1. 使用三角恒等式简化方程。
2. 解出 xx 的值。
3. 确定解在给定区间内。

STEP 3

使用双角公式 sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x \sin(2x) = 2 \sin x \cos x 将方程简化：
4sin⁡xcos⁡x+3=0 4 \sin x \cos x + \sqrt{3} = 0
2⋅2sin⁡xcos⁡x+3=0 2 \cdot 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} = 0
2sin⁡(2x)+3=0 2 \sin(2x) + \sqrt{3} = 0

STEP 4

将方程变形以解出 sin⁡(2x) \sin(2x) ：
2sin⁡(2x)=−3 2 \sin(2x) = -\sqrt{3}
sin⁡(2x)=−32 \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

STEP 5

在单位圆上找出 sin⁡(2x)=−32 \sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} 的解。我们知道：
2x=4π3+2kπ或2x=5π3+2kπ 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{或} \quad 2x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi
其中 k k 是整数。

STEP 6

解出 x x 的值：
对于 2x=4π3+2kπ 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ：
x=2π3+kπ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi
对于 2x=5π3+2kπ 2x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi ：
x=5π6+kπ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi

STEP 7

确定在 0≤x<2π 0 \leq x < 2\pi 内的解：
对于 x=2π3+kπ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi ，当 k=0 k = 0 时，x=2π3 x = \frac{2\pi}{3} ，当 k=1 k = 1 时，x=5π3 x = \frac{5\pi}{3} 。
对于 x=5π6+kπ x = \frac{5\pi}{6} + k\pi ，当 k=0 k = 0 时，x=5π6 x = \frac{5\pi}{6} ，当 k=1 k = 1 时，x=11π6 x = \frac{11\pi}{6} 。
所以，解为：
x=2π3,5π3,5π6,11π6 x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}
解为：
x=2π3,5π3,5π6,11π6 x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}

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