Math Snap

STEP 1

1. نحن نريد حساب التكامل المحدد باستخدام هوية مثلثية.
2. يمكن استخدام هوية جداء الجيبين لتبسيط التكامل.

STEP 2

1. استخدم هوية الجداء للجيبين لتبسيط التعبير.
2. حساب التكامل للتعبير المبسط.

STEP 3

استخدم هوية الجداء للجيبين:
$$\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$$ لذا، بالنسبة لـ $\sin(x) \sin(3x)$:
$$\sin(x) \sin(3x) = \frac{1}{2} [\cos(x - 3x) - \cos(x + 3x)]$$ $$= \frac{1}{2} [\cos(-2x) - \cos(4x)]$$

STEP 4

الآن، التكامل يصبح:
$$\int \frac{1}{2} [\cos(-2x) - \cos(4x)] \, dx$$

STEP 5

قم بتوزيع التكامل:
$$= \frac{1}{2} \left( \int \cos(-2x) \, dx - \int \cos(4x) \, dx \right)$$

STEP 6

احسب كل تكامل على حدة:
$$\int \cos(-2x) \, dx = -\frac{1}{2} \sin(-2x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$$ $$\int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x)$$

اجمع النتائج:
$$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{4} \sin(4x) \right)$$ $$= \frac{1}{4} \sin(2x) - \frac{1}{8} \sin(4x)$$ وبما أن الخيار (b) هو $\frac{\cos (2 x)-\cos (4 x)}{2}$، فإن الإجابة الصحيحة هي (d) لا شيء.