Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Question2. The integral ∫sin⁡(x)sin⁡(3x)dx\int \sin (x) \sin (3 x) d x can be solved by trigonometric identity: a. sin⁡(−2x)+sin⁡(4x)2\frac{\sin (-2 x)+\sin (4 x)}{2} b. cos⁡(2x)−cos⁡(4x)2\frac{\cos (2 x)-\cos (4 x)}{2} c. sin⁡(−2x)−sin⁡(4x)2\frac{\sin (-2 x)-\sin (4 x)}{2} d. None

Studdy Solution

STEP 1

1. نحن نريد حساب التكامل المحدد باستخدام هوية مثلثية.
2. يمكن استخدام هوية جداء الجيبين لتبسيط التكامل.

STEP 2

1. استخدم هوية الجداء للجيبين لتبسيط التعبير.
2. حساب التكامل للتعبير المبسط.

STEP 3

استخدم هوية الجداء للجيبين:
sin⁡(A)sin⁡(B)=12[cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)]\sin(A) \sin(B) = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]
لذا، بالنسبة لـ sin⁡(x)sin⁡(3x)\sin(x) \sin(3x):
sin⁡(x)sin⁡(3x)=12[cos⁡(x−3x)−cos⁡(x+3x)]\sin(x) \sin(3x) = \frac{1}{2} [\cos(x - 3x) - \cos(x + 3x)]
=12[cos⁡(−2x)−cos⁡(4x)]= \frac{1}{2} [\cos(-2x) - \cos(4x)]

STEP 4

الآن، التكامل يصبح:
∫12[cos⁡(−2x)−cos⁡(4x)] dx\int \frac{1}{2} [\cos(-2x) - \cos(4x)] \, dx

STEP 5

قم بتوزيع التكامل:
=12(∫cos⁡(−2x) dx−∫cos⁡(4x) dx)= \frac{1}{2} \left( \int \cos(-2x) \, dx - \int \cos(4x) \, dx \right)

STEP 6

احسب كل تكامل على حدة:
∫cos⁡(−2x) dx=−12sin⁡(−2x)=12sin⁡(2x)\int \cos(-2x) \, dx = -\frac{1}{2} \sin(-2x) = \frac{1}{2} \sin(2x)
∫cos⁡(4x) dx=14sin⁡(4x)\int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x)

STEP 7

اجمع النتائج:
=12(12sin⁡(2x)−14sin⁡(4x))= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{4} \sin(4x) \right)
=14sin⁡(2x)−18sin⁡(4x)= \frac{1}{4} \sin(2x) - \frac{1}{8} \sin(4x)
وبما أن الخيار (b) هو cos⁡(2x)−cos⁡(4x)2\frac{\cos (2 x)-\cos (4 x)}{2}، فإن الإجابة الصحيحة هي (d) لا شيء.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord