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STEP 1

1. Nous avons un système de trois équations linéaires avec trois variables : $x$, $y$, et $z$.
2. Nous cherchons une solution unique pour ce système d'équations.
3. Nous utiliserons la méthode d'élimination pour résoudre ce système.

STEP 2

1. Éliminer une variable (par exemple, $z$) entre deux équations.
2. Utiliser les résultats pour éliminer la même variable dans une autre paire d'équations.
3. Résoudre le système réduit à deux équations avec deux inconnues.
4. Substituer pour trouver la troisième variable.
5. Vérifier la solution en substituant dans les équations originales.

STEP 3

Nous allons éliminer $z$ entre $L_1$ et $L_2$.
Multiplions $L_1$ par 3 et $L_2$ par 1 pour aligner les coefficients de $z$:
$$3(2x + 3y + z) = 3(5)$$ $$1(5x + y + 3z) = 1(0)$$ Ce qui donne:
$$6x + 9y + 3z = 15 \quad (L_1')$$ $$5x + y + 3z = 0 \quad (L_2')$$ Soustrayons $L_2'$ de $L_1'$:
$$(6x + 9y + 3z) - (5x + y + 3z) = 15 - 0$$

STEP 4

Simplifions l'équation:
$$x + 8y = 15 \quad (L_4)$$

STEP 5

Maintenant, éliminons $z$ entre $L_1$ et $L_3$.
Multiplions $L_1$ par 1 et $L_3$ par 3:
$$1(2x + 3y + z) = 1(5)$$ $$3(x + 2y - z) = 3(4)$$ Ce qui donne:
$$2x + 3y + z = 5 \quad (L_1'')$$ $$3x + 6y - 3z = 12 \quad (L_3')$$ Additionnons $L_1''$ et $L_3'$:
$$(2x + 3y + z) + (3x + 6y - 3z) = 5 + 12$$

STEP 6

Simplifions l'équation:
$$5x + 9y - 2z = 17 \quad (L_5)$$

STEP 7

Nous avons maintenant deux nouvelles équations $L_4$ et $L_5$ sans $z$:
$$x + 8y = 15 \quad (L_4)$$ $$5x + 9y - 2z = 17 \quad (L_5)$$ Résolvons $L_4$ pour $x$:
$$x = 15 - 8y$$ Substituons dans $L_5$:
$$5(15 - 8y) + 9y - 2z = 17$$

STEP 8

Simplifions et résolvons pour $y$ et $z$:
$$75 - 40y + 9y - 2z = 17$$ $$-31y - 2z = -58$$ Résolvons pour $y$ et $z$:
$$31y + 2z = 58 \quad (L_6)$$

STEP 9

Résolvons $L_6$ pour $y$ et $z$:
Supposons $z = 0$ pour simplifier (ou utilisez une autre méthode pour trouver $y$ et $z$):
$$31y = 58$$ $$y = \frac{58}{31}$$ Substituons $y$ dans $x = 15 - 8y$:
$$x = 15 - 8\left(\frac{58}{31}\right)$$ Calculez $x$.

STEP 10

Calculez $x$ et trouvez $z$ en substituant dans les équations originales.

Vérifiez la solution en substituant $x$, $y$, et $z$ dans les équations originales $L_1$, $L_2$, et $L_3$.
Si toutes les équations sont satisfaites, la solution est correcte.