Math  /  Algebra

Question3 圆 Der Punkt P liegt auf dem Graphen der Funktion ff mit f(x)=2x3f(x)=2 x^{-3}. Bestimmen Sie die fehlende Koordinate. a) P(1y)P(1 \mid y) b) P(2y)P(-2 \mid y) c) P(x16)P(x \mid 16) d) P(x132)P\left(x \left\lvert\,-\frac{1}{32}\right.\right) araz- \qquad
5 虽 Die Punkte P(p1,5)P(p \mid-1,5) und Q(0,548)Q(0,5 \mid 48) liegen auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)=ax3f(x)=a \cdot x^{-3}. Bestimmen Sie aa und pp.

Studdy Solution

STEP 1

Was ist das? Wir sollen fehlende Koordinaten von Punkten finden, die auf dem Graphen einer Funktion liegen, die so aussieht: f(x)=ax3f(x) = a \cdot x^{-3}.
In einigen Fällen kennen wir aa, in anderen müssen wir aa auch noch finden! Vorsicht! Negative Exponenten können knifflig sein! x3x^{-3} bedeutet 1x3\frac{1}{x^3}, nicht x3-x^3.
Verwechsle das nicht!

STEP 2

1. Punkte einsetzen und fehlende Koordinaten berechnen
2. Parameter aa und fehlende Koordinate bestimmen

STEP 3

Wir haben f(x)=2x3f(x) = 2x^{-3} und den Punkt P(1y)P(1|y).
Das bedeutet, x=1x=1 und wir suchen y=f(1)y=f(1). **Einsetzen**! f(1)=213=2113=211=21=2f(1) = 2 \cdot 1^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{1^3} = 2 \cdot \frac{1}{1} = 2 \cdot 1 = 2 Also ist y=2y=2.
Der Punkt ist P(12)P(1|2).

STEP 4

Hier haben wir x=2x=-2.
Wir **berechnen** y=f(2)y=f(-2): f(2)=2(2)3=21(2)3=218=28=14f(-2) = 2 \cdot (-2)^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{(-2)^3} = 2 \cdot \frac{1}{-8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} Der Punkt ist P(214)P(-2|-\frac{1}{4}).

STEP 5

Jetzt ist f(x)=16f(x) = 16 gegeben, und wir suchen xx.
Also: 16=2x3=21x316 = 2 \cdot x^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{x^3} Wir **multiplizieren** beide Seiten mit x3x^3: 16x3=216x^3 = 2 Jetzt **teilen** wir beide Seiten durch 16: x3=216=18x^3 = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} Um xx zu finden, ziehen wir die **dritte Wurzel**: x=183=12x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} Der Punkt ist P(1216)P(\frac{1}{2}|16).

STEP 6

Hier ist f(x)=132f(x) = -\frac{1}{32}.
Wir **setzen ein**: 132=2x3=21x3-\frac{1}{32} = 2 \cdot x^{-3} = 2 \cdot \frac{1}{x^3} Wir **multiplizieren** beide Seiten mit x3x^3: 132x3=2-\frac{1}{32} x^3 = 2 Jetzt **teilen** wir beide Seiten durch 132-\frac{1}{32}, was dasselbe ist wie mit 32-32 zu multiplizieren: x3=2(32)=64x^3 = 2 \cdot (-32) = -64 Die **dritte Wurzel** ergibt: x=643=4x = \sqrt[3]{-64} = -4 Der Punkt ist P(4132)P(-4|-\frac{1}{32}).

STEP 7

Wir haben f(x)=ax3f(x) = a \cdot x^{-3} und die Punkte P(p1,5)P(p|-1,5) und Q(0,548)Q(0,5|48).
Wir **setzen** QQ ein, um aa zu finden: 48=a(0,5)3=a1(0,5)3=a10,125=a848 = a \cdot (0,5)^{-3} = a \cdot \frac{1}{(0,5)^3} = a \cdot \frac{1}{0,125} = a \cdot 8 **Teilen** durch 8: a=488=6a = \frac{48}{8} = 6 Also ist f(x)=6x3f(x) = 6x^{-3}.

STEP 8

Jetzt **setzen** wir PP ein: 1,5=6p3=61p3-1,5 = 6 \cdot p^{-3} = 6 \cdot \frac{1}{p^3} **Multiplizieren** mit p3p^3: 1,5p3=6-1,5p^3 = 6 **Teilen** durch -1,5: p3=61,5=4p^3 = \frac{6}{-1,5} = -4 **Dritte Wurzel** ziehen: p=43p = \sqrt[3]{-4} Also ist P(431,5)P(\sqrt[3]{-4}|-1,5).

STEP 9

a) P(12)P(1|2) b) P(214)P(-2|-\frac{1}{4}) c) P(1216)P(\frac{1}{2}|16) d) P(4132)P(-4|-\frac{1}{32}) a=6a=6 und p=43p=\sqrt[3]{-4}

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