Solve a problem of your own!
Download the Studdy App!

Math

Math Snap

PROBLEM

3. If S(N)=k=1NkS(N)=\sum_{k=1}^{N} k then which value of NN solves the following equation?
n=1S(N)4n=43(4551).\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n}=\frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right) .

STEP 1

Założenia
1. S(N)=k=1Nk S(N) = \sum_{k=1}^{N} k jest sumą pierwszych N N liczb naturalnych.
2. Musimy znaleźć wartość N N , która spełnia równanie:
$$ \sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = \frac{4}{3}\left(4^{55}-1\right)
\]

STEP 2

Obliczmy S(N) S(N) , czyli sumę arytmetyczną pierwszych N N liczb naturalnych. Wzór na tę sumę to:
S(N)=N(N+1)2S(N) = \frac{N(N+1)}{2}

STEP 3

Zauważmy, że lewa strona równania to suma geometryczna:
n=1S(N)4n=4+42+43++4S(N)\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{S(N)}

STEP 4

Wzór na sumę ciągu geometrycznego jest następujący:
n=1man=aam1a1\sum_{n=1}^{m} a^n = a \frac{a^m - 1}{a - 1} Zastosujmy go dla a=4 a = 4 i m=S(N) m = S(N) :
n=1S(N)4n=44S(N)141=43(4S(N)1)\sum_{n=1}^{S(N)} 4^{n} = 4 \frac{4^{S(N)} - 1}{4 - 1} = \frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1)

STEP 5

Porównajmy obie strony równania:
43(4S(N)1)=43(4551)\frac{4}{3}(4^{S(N)} - 1) = \frac{4}{3}(4^{55} - 1)

STEP 6

Ponieważ współczynniki 43\frac{4}{3} są takie same po obu stronach, możemy porównać wykładniki:
4S(N)=4554^{S(N)} = 4^{55}

STEP 7

Z tego wynika, że:
S(N)=55S(N) = 55

STEP 8

Podstawmy S(N)=55 S(N) = 55 do wzoru na sumę arytmetyczną:
N(N+1)2=55\frac{N(N+1)}{2} = 55

STEP 9

Rozwiążmy równanie:
N(N+1)=110N(N+1) = 110

STEP 10

Przekształćmy równanie kwadratowe:
N2+N110=0N^2 + N - 110 = 0

STEP 11

Rozwiążmy równanie kwadratowe za pomocą wzoru kwadratowego:
N=b±b24ac2aN = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} gdzie a=1 a = 1 , b=1 b = 1 , c=110 c = -110 .

STEP 12

Obliczmy deltę:
Δ=b24ac=1241(110)=1+440=441\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441

STEP 13

Obliczmy pierwiastek z delty:
Δ=441=21\sqrt{\Delta} = \sqrt{441} = 21

STEP 14

Podstawmy wartości do wzoru kwadratowego:
N=1±212N = \frac{-1 \pm 21}{2}

STEP 15

Obliczmy możliwe wartości N N :
N1=1+212=202=10N_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10 N2=1212=222=11N_2 = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11

SOLUTION

Ponieważ N N musi być liczbą naturalną, wybieramy N=10 N = 10 .
Wartość N N rozwiązująca równanie to N=10 N = 10 .

Was this helpful?
banner

Start understanding anything

Get started now for free.

OverviewParentsContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord