Math / Algebra

Question3 Une compagnie d'entretien paysager possède deux types de tondeuses à gazon. La première peut tondre $4200 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{h}$ pour un coût de $10 \$$ , alors que la seconde tond $5575 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{h}$ et son utilisation coûte 15 \ $. Cette semaine, la compagnie a tondu$ 275000 \mathrm{~m}^{2}$ de gazon pour un coût d'exploitation de 710 \$. Combien d'heures chaque tondeuse a-t-elle été utilisée?

Studdy Solution

STEP 1

Qu'est-ce que ça demande ? On cherche à savoir combien d'heures chaque tondeuse a fonctionné pour tondre $275000 \text{ m}^2$ de gazon pour un coût total de $\$710$ . Attention ! Il est facile de se mélanger entre les surfaces tondues et les coûts !
On doit bien associer chaque tondeuse à sa surface tondue par heure et à son coût horaire.

STEP 2

1. Définir les variables
2. Poser les équations
3. Résoudre le système d'équations

STEP 3

On va appeler $x$ le nombre d'heures d'utilisation de la première tondeuse et $y$ le nombre d'heures d'utilisation de la seconde tondeuse.
C'est super important de bien définir ces variables dès le début !

STEP 4

La première tondeuse tond $4200 \text{ m}^2$ par heure, donc en $x$ heures, elle tond $4200x \text{ m}^2$ .
La deuxième tondeuse tond $5575 \text{ m}^2$ par heure, donc en $y$ heures, elle tond $5575y \text{ m}^2$ .
La surface totale tondue est de $275000 \text{ m}^2$ , donc notre première équation est : $4200x + 5575y = 275000$

STEP 5

L'utilisation de la première tondeuse coûte $\$10$ par heure, donc pour $x$ heures, le coût est de $10x \$$ .
L'utilisation de la deuxième tondeuse coûte $\$15$ par heure, donc pour $y$ heures, le coût est de $15y \$$ .
Le coût total est de $\$710$ , donc notre deuxième équation est : $10x + 15y = 710$

STEP 6

On peut isoler $x$ dans la deuxième équation : $10x = 710 - 15y$ $x = \frac{710 - 15y}{10}$ $x = 71 - 1.5y$

STEP 7

On remplace $x$ dans la première équation par l'expression qu'on vient de trouver : $4200(71 - 1.5y) + 5575y = 275000$ $298200 - 6300y + 5575y = 275000$ $298200 - 725y = 275000$

STEP 8

On isole $y$ : $-725y = 275000 - 298200$ $-725y = -23200$ $y = \frac{-23200}{-725}$ $y = 32$

STEP 9

On substitue la valeur de $y$ qu'on vient de trouver ( $y=32$ ) dans l'équation $x = 71 - 1.5y$ : $x = 71 - 1.5 \cdot 32$ $x = 71 - 48$ $x = 23$

STEP 10

La première tondeuse a été utilisée pendant 23 heures et la deuxième tondeuse a été utilisée pendant 32 heures.

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STEP 2

1. Définir les variables
2. Poser les équations
3. Résoudre le système d'équations

STEP 3

On va appeler $x$ le nombre d'heures d'utilisation de la première tondeuse et $y$ le nombre d'heures d'utilisation de la seconde tondeuse.
C'est super important de bien définir ces variables dès le début !

STEP 4

STEP 5

STEP 6

On peut isoler $x$ dans la deuxième équation : $10x = 710 - 15y$ $x = \frac{710 - 15y}{10}$ $x = 71 - 1.5y$

STEP 7

On remplace $x$ dans la première équation par l'expression qu'on vient de trouver : $4200(71 - 1.5y) + 5575y = 275000$ $298200 - 6300y + 5575y = 275000$ $298200 - 725y = 275000$

STEP 8

On isole $y$ : $-725y = 275000 - 298200$ $-725y = -23200$ $y = \frac{-23200}{-725}$ $y = 32$

STEP 9

On substitue la valeur de $y$ qu'on vient de trouver ( $y=32$ ) dans l'équation $x = 71 - 1.5y$ : $x = 71 - 1.5 \cdot 32$ $x = 71 - 48$ $x = 23$

STEP 10

La première tondeuse a été utilisée pendant 23 heures et la deuxième tondeuse a été utilisée pendant 32 heures.

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STEP 2

1. Définir les variables2. Poser les équations3. Résoudre le système d'équations

STEP 3

On va appeler xxx le nombre d'heures d'utilisation de la première tondeuse et yyy le nombre d'heures d'utilisation de la seconde tondeuse.C'est **super important** de bien définir ces variables dès le début !

STEP 4

STEP 5

STEP 6

On peut isoler xxx dans la deuxième équation : 10x=710−15y10x = 710 - 15y10x=710−15y x=710−15y10x = \frac{710 - 15y}{10}x=10710−15y​x=71−1.5yx = 71 - 1.5yx=71−1.5y

STEP 7

STEP 8

On isole yyy : −725y=275000−298200-725y = 275000 - 298200−725y=275000−298200 −725y=−23200-725y = -23200−725y=−23200y=−23200−725y = \frac{-23200}{-725}y=−725−23200​y=32y = 32y=32

STEP 9

On **substitue** la valeur de yyy qu'on vient de trouver (y=32y=32y=32) dans l'équation x=71−1.5yx = 71 - 1.5yx=71−1.5y : x=71−1.5⋅32x = 71 - 1.5 \cdot 32x=71−1.5⋅32 x=71−48x = 71 - 48x=71−48x=23x = 23x=23

STEP 10

La première tondeuse a été utilisée pendant **23 heures** et la deuxième tondeuse a été utilisée pendant **32 heures**.

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1. Définir les variables
2. Poser les équations
3. Résoudre le système d'équations

On va appeler $x$ le nombre d'heures d'utilisation de la première tondeuse et $y$ le nombre d'heures d'utilisation de la seconde tondeuse.
C'est super important de bien définir ces variables dès le début !

On peut isoler $x$ dans la deuxième équation : $10x = 710 - 15y$ $x = \frac{710 - 15y}{10}$ $x = 71 - 1.5y$

On isole $y$ : $-725y = 275000 - 298200$ $-725y = -23200$ $y = \frac{-23200}{-725}$ $y = 32$

On substitue la valeur de $y$ qu'on vient de trouver ( $y=32$ ) dans l'équation $x = 71 - 1.5y$ : $x = 71 - 1.5 \cdot 32$ $x = 71 - 48$ $x = 23$

La première tondeuse a été utilisée pendant 23 heures et la deuxième tondeuse a été utilisée pendant 32 heures.