Math Snap

STEP 1

What is this asking?
Нам нужно найти систему линейных уравнений, решениями которой являются все линейные комбинации заданных векторов.
Проще говоря, нужно найти уравнения, которым удовлетворяют эти векторы.
Watch out!
Важно помнить, что мы ищем систему уравнений, а не одно уравнение.
Также, не забываем про фундаментальную систему решений!

STEP 2

1. Составление матрицы
2. Приведение матрицы к ступенчатому виду
3. Построение системы уравнений

STEP 3

Для начала, давайте сформируем расширенную матрицу, столбцы которой состоят из заданных векторов, а последний столбец состоит из переменных $x_1, x_2, x_3, x_4$ (для пункта а) и $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ (для пункта б).
a) $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & x_1 \\ -1 & 1 & 0 & x_2 \\ 1 & 0 & 1 & x_3 \\ 0 & 1 & 1 & x_4 \end{pmatrix}$$ б) $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & x_1 \\ -1 & 1 & 1 & x_2 \\ 1 & 0 & 1 & x_3 \\ -1 & 0 & -1 & x_4 \\ 1 & 3 & 7 & x_5 \end{pmatrix}$$

STEP 4

Приведем матрицу (а) к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.
Добавим первую строку ко второй и вычтем её из третьей:
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & x_1 \\ 0 & 2 & 2 & x_1 + x_2 \\ 0 & -1 & -1 & x_3 - x_1 \\ 0 & 1 & 1 & x_4 \end{pmatrix}$$Теперь умножим вторую строку на $\frac{1}{2}$ и добавим её к третьей, а также вычтем её из четвертой:
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & x_1 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{x_1 + x_2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & x_3 - \frac{x_1 - x_2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & x_4 - \frac{x_1 + x_2}{2} \end{pmatrix}$$

STEP 5

Приведем матрицу (б) к ступенчатому виду.
Добавим первую строку ко второй и четвертой, и вычтем её из третьей:
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & x_1 \\ 0 & 2 & 4 & x_1 + x_2 \\ 0 & -1 & -2 & x_3 - x_1 \\ 0 & 1 & 2 & x_1 + x_4 \\ 1 & 3 & 7 & x_5 \end{pmatrix}$$Умножим вторую строку на $\frac{1}{2}$, добавим её к третьей и вычтем её из четвертой.
Вычтем первую строку из пятой:
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & x_1 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{x_1 + x_2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & x_3 - \frac{x_1 - x_2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & x_4 + \frac{x_1 - x_2}{2} \\ 0 & 2 & 4 & x_5 - x_1 \end{pmatrix}$$Вычтем удвоенную вторую строку из пятой:
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & x_1 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{x_1 + x_2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & x_3 - \frac{x_1 - x_2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & x_4 + \frac{x_1 - x_2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & x_5 - x_2 - x_1 \end{pmatrix}$$

STEP 6

Из приведенной матрицы (а) получаем систему уравнений:
$$\begin{cases} x_3 - \frac{x_1 - x_2}{2} = 0 \\ x_4 - \frac{x_1 + x_2}{2} = 0 \end{cases}$$или
$$\begin{array}{l} x_1 - x_2 - 2x_3 = 0 \\ x_1 + x_2 - 2x_4 = 0 \end{array}$$

STEP 7

Из приведенной матрицы (б) получаем систему уравнений:
$$\begin{cases} x_3 - \frac{x_1 - x_2}{2} = 0 \\ x_4 + \frac{x_1 - x_2}{2} = 0 \\ x_5 - x_1 - x_2 = 0 \end{cases}$$или
$$\begin{cases} x_1 - x_2 - 2x_3 = 0 \\ x_1 - x_2 + 2x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 - x_5 = 0 \end{cases}$$

a) Система уравнений: $x_1 - x_2 - 2x_3 = 0$ и $x_1 + x_2 - 2x_4 = 0$.
б) Система уравнений: $x_1 - x_2 - 2x_3 = 0$, $x_1 - x_2 + 2x_4 = 0$ и $x_1 + x_2 - x_5 = 0$.