Math / Geometry

Question4. En el $\triangle A B C$ , rectángulo en $C, C D$ altura. Si $B C=5 \mathrm{~cm}$ y $D B=4 \mathrm{~cm}$ , entonces $A C=$

Studdy Solution

STEP 1

1. El triángulo $\triangle ABC$ es rectángulo en $C$ , lo que significa que $\angle ACB = 90^\circ$ .
2. $CD$ es la altura desde $C$ hasta la hipotenusa $AB$ .
3. $BC = 5$ cm y $DB = 4$ cm.
4. Queremos encontrar la longitud de $AC$ .

STEP 2

1. Usar el teorema de Pitágoras en el triángulo $BDC$ para encontrar $CD$ .
2. Usar el teorema de Pitágoras en el triángulo $ABC$ para encontrar $AC$ .

STEP 3

Determinar $CD$ usando el triángulo $\triangle BDC$ . Según el teorema de Pitágoras, tenemos:
$BD^2 + CD^2 = BC^2$
Sustituimos los valores dados:
$4^2 + CD^2 = 5^2$

STEP 4

Resolver la ecuación para $CD^2$ :
$16 + CD^2 = 25$
Restamos 16 de ambos lados:
$CD^2 = 9$
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:
$CD = 3 \text{ cm}$

STEP 5

Usar el teorema de Pitágoras en el triángulo $\triangle ABC$ para encontrar $AC$ . Sabemos que:
$AC^2 + BC^2 = AB^2$

STEP 6

Determinar $AB$ usando la longitud de $DB$ y la altura $CD$ :
$AB = BD + DA$
Como $\triangle ACD$ es similar a $\triangle BDC$ (porque ambos son triángulos rectángulos y comparten el ángulo en $C$ ), podemos usar proporciones para encontrar $DA$ . Sabemos que:
$\frac{CD}{BC} = \frac{DA}{BD}$
Entonces:
$\frac{3}{5} = \frac{DA}{4}$

STEP 7

Resolver para $DA$ :
$DA = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2.4 \text{ cm}$
Entonces:
$AB = BD + DA = 4 + 2.4 = 6.4 \text{ cm}$

STEP 8

Usar el teorema de Pitágoras en el triángulo $\triangle ABC$ :
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
Sustituimos los valores conocidos:
$AC^2 + 5^2 = 6.4^2$

STEP 9

Resolver para $AC^2$ :
$AC^2 + 25 = 40.96$
Restamos 25 de ambos lados:
$AC^2 = 15.96$
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados:
$AC \approx \sqrt{15.96} \approx 4 \text{ cm}$
Por lo tanto, la longitud de $AC$ es aproximadamente $4$ cm.

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