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Math  /  Calculus

Question4) Soit ff une fonction définie sur R\mathbb{R} par: f(x)=x˙3+x˙+1\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\dot{x}^{3}+\dot{x}+1 a) Montrer que l'équation f(x)=0\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\mathbf{0} admet une solution unique α\alpha dans R\mathbb{R} et que −1<α<0-1<\alpha<0 b) Trouver un encadrement de α\alpha d'amplitude 0,25. (1pt) c) Déduire le signe de ff sur R\mathbb{R} (1pt) d) Montrer que α=−α+13\alpha=-\sqrt[3]{\alpha+1} (0,5pt) 5) Soit ff la fonction continue sur [a;b][a ; b] tel que f(a)<0f(a)<0
Montrer ∃c∈]a;b[;(b−c)f(c)=a−c\exists c \in] a ; b[;(b-c) f(c)=a-c (1pt)

Studdy Solution

STEP 1

1. Nous avons la fonction f(x)=x3+x+1 f(x) = x^3 + x + 1 .
2. Nous devons montrer qu'il existe une solution unique α\alpha telle que f(α)=0 f(\alpha) = 0 et que −1<α<0-1 < \alpha < 0.
3. Nous devons trouver un encadrement de α\alpha d'amplitude 0,25.
4. Nous devons déduire le signe de f f sur R\mathbb{R}.
5. Nous devons montrer que α=−α+13\alpha = -\sqrt[3]{\alpha + 1}.
6. Pour la question 5, nous avons une fonction continue f f sur [a;b][a; b] avec f(a)<0 f(a) < 0 et devons montrer l'existence d'un c c tel que (b−c)f(c)=a−c(b-c)f(c) = a-c.

STEP 2

1. Montrer l'existence et l'unicité de la solution α\alpha.
2. Trouver un encadrement de α\alpha d'amplitude 0,25.
3. Déduire le signe de f f sur R\mathbb{R}.
4. Montrer que α=−α+13\alpha = -\sqrt[3]{\alpha + 1}.
5. Montrer l'existence de c c tel que (b−c)f(c)=a−c(b-c)f(c) = a-c.

STEP 3

Étudier le signe de f(x)=x3+x+1 f(x) = x^3 + x + 1 pour montrer l'existence d'une solution.
Calculer f(−1) f(-1) et f(0) f(0) :
f(−1)=(−1)3+(−1)+1=−1 f(-1) = (-1)^3 + (-1) + 1 = -1 f(0)=03+0+1=1 f(0) = 0^3 + 0 + 1 = 1

STEP 4

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Puisque f f est continue et f(−1)<0<f(0) f(-1) < 0 < f(0) , il existe au moins une solution α\alpha dans l'intervalle (−1,0)(-1, 0).

STEP 5

Montrer l'unicité de la solution en étudiant la dérivée f′(x) f'(x) .
Calculer la dérivée:
f′(x)=3x2+1 f'(x) = 3x^2 + 1
Puisque f′(x)>0 f'(x) > 0 pour tout x∈R x \in \mathbb{R} , f f est strictement croissante.
Ainsi, il existe une solution unique α\alpha.

STEP 6

Trouver un encadrement de α\alpha d'amplitude 0,25.
Tester des valeurs dans l'intervalle (−1,0)(-1, 0) pour affiner l'encadrement.
Calculer f(−0.75) f(-0.75) et f(−0.5) f(-0.5) :
f(−0.75)=(−0.75)3+(−0.75)+1=−0.421875 f(-0.75) = (-0.75)^3 + (-0.75) + 1 = -0.421875 f(−0.5)=(−0.5)3+(−0.5)+1=0.375 f(-0.5) = (-0.5)^3 + (-0.5) + 1 = 0.375
Ainsi, −0.75<α<−0.5-0.75 < \alpha < -0.5.

STEP 7

Déduire le signe de f f sur R\mathbb{R}.
Puisque f(x) f(x) est strictement croissante et f(α)=0 f(\alpha) = 0 , alors:
- f(x)<0 f(x) < 0 pour x<α x < \alpha - f(x)>0 f(x) > 0 pour x>α x > \alpha

STEP 8

Montrer que α=−α+13\alpha = -\sqrt[3]{\alpha + 1}.
Puisque f(α)=α3+α+1=0 f(\alpha) = \alpha^3 + \alpha + 1 = 0 , on a:
α3=−α−1 \alpha^3 = -\alpha - 1
Prendre la racine cubique des deux côtés:
α=−α+13 \alpha = -\sqrt[3]{\alpha + 1}

STEP 9

Montrer l'existence de c c tel que (b−c)f(c)=a−c(b-c)f(c) = a-c.
Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et la continuité de f f .
Puisque f(a)<0 f(a) < 0 et f f est continue, il existe un c∈(a,b) c \in (a, b) tel que (b−c)f(c)=a−c(b-c)f(c) = a-c.

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