Math  /  Calculus

Question4. Відомо, що an0a_{n} \geq 0 для всіх nNn \in \mathbb{N}, і що ряд n=1an2\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} збігається. Чи обов'язково ряд n=1an\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} також збігається?

Studdy Solution

STEP 1

Что спрашивается? Если сумма квадратов ряда неотрицательных чисел сходится, то сходится ли и сумма самих этих чисел? Осторожно! Нельзя просто так взять корень из сходящегося ряда!
Нужно аккуратно проанализировать связь между ana_n и an2a_n^2.

STEP 2

1. Контрпример
2. Объяснение контрпримера

STEP 3

Давайте попробуем **подобрать ряд**, который опровергнет утверждение.
Возьмем, например, an=1na_n = \frac{1}{n} для всех nNn \in \mathbb{N}.

STEP 4

Что мы знаем про ряд n=1an=n=11n\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}?
Это **гармонический ряд**, и он **расходится**!
Это важный факт, который нужно запомнить.

STEP 5

А что насчет ряда n=1an2=n=11n2\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}?
Это **обобщенный гармонический ряд** с показателем степени 22.
Он **сходится**, так как показатель степени больше 11.
Это тоже нужно запомнить!

STEP 6

Итак, мы нашли **контрпример**: ряд n=1an=n=11n\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} **расходится**, хотя ряд n=1an2=n=11n2\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} **сходится**.

STEP 7

Это означает, что из сходимости ряда n=1an2\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 **не следует** сходимость ряда n=1an\sum_{n=1}^{\infty} a_n.
Условие an0a_n \geq 0 не спасает!

STEP 8

Нет, ряд n=1an\sum_{n=1}^{\infty} a_n не обязательно сходится.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord