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STEP 1

1. Le disuguaglianze coinvolgono frazioni algebriche.
2. Dobbiamo determinare i valori di $x$ per cui ogni disuguaglianza è vera.
3. Dobbiamo considerare i punti in cui i numeratori e i denominatori sono uguali a zero per determinare i segni delle frazioni.

STEP 2

1. Risolvere la prima disuguaglianza.
2. Risolvere la seconda disuguaglianza.
3. Trovare l'intersezione degli intervalli di soluzione.

STEP 3

Per risolvere la prima disuguaglianza, iniziamo semplificando l'espressione nel numeratore:
$$(x+2)(x-2) - x^2 = x^2 - 4 - x^2 = -4$$ Quindi la disuguaglianza diventa:
$$\frac{-4}{5x - 5} \geq 0$$

STEP 4

Poiché il numeratore è una costante negativa, la frazione sarà non negativa solo quando il denominatore è negativo o zero:
$$5x - 5 \leq 0$$ Risolvendo per $x$:
$$5x \leq 5$$ $$x \leq 1$$

STEP 5

Per risolvere la seconda disuguaglianza, semplifichiamo i numeratori e i denominatori:
Numeratore:
$$(x+3)(x-2) - x^2 = x^2 + 3x - 2x - 6 - x^2 = x - 6$$ Denominatore:
$$(x-3)(x+2) - x^2 = x^2 + 2x - 3x - 6 - x^2 = -x - 6$$ Quindi la disuguaglianza diventa:
$$\frac{x - 6}{-x - 6} < 0$$

STEP 6

La frazione è negativa quando il numeratore e il denominatore hanno segni opposti. Determiniamo i segni:
1. $x - 6 > 0$ e $-x - 6 < 0$
2. $x - 6 < 0$ e $-x - 6 > 0$
Risolvendo:
1. $x > 6$ e $x < -6$ (impossibile)
2. $x < 6$ e $x > -6$
L'intervallo valido è:
$$-6 < x < 6$$

Troviamo l'intersezione degli intervalli $x \leq 1$ e $-6 < x < 6$:
L'intersezione è:
$$-6 < x \leq 1$$ La soluzione finale è l'intervallo $\boxed{(-6, 1]}$.