Question43 $\frac{(x+2)(x-2)-x^{2}}{5 x-5} \geq 0$ $\frac{(x+3)(x-2)-x^{2}}{(x-3)(x+2)-x^{2}}<0$

Studdy Solution

STEP 1

1. Le disuguaglianze coinvolgono frazioni algebriche.
2. Dobbiamo determinare i valori di $x$ per cui ogni disuguaglianza è vera.
3. Dobbiamo considerare i punti in cui i numeratori e i denominatori sono uguali a zero per determinare i segni delle frazioni.

STEP 2

1. Risolvere la prima disuguaglianza.
2. Risolvere la seconda disuguaglianza.
3. Trovare l'intersezione degli intervalli di soluzione.

STEP 3

Per risolvere la prima disuguaglianza, iniziamo semplificando l'espressione nel numeratore:
$(x+2)(x-2) - x^2 = x^2 - 4 - x^2 = -4$
Quindi la disuguaglianza diventa:
$\frac{-4}{5x - 5} \geq 0$

STEP 4

Poiché il numeratore è una costante negativa, la frazione sarà non negativa solo quando il denominatore è negativo o zero:
$5x - 5 \leq 0$
Risolvendo per $x$ :
$5x \leq 5$ $x \leq 1$

STEP 5

Per risolvere la seconda disuguaglianza, semplifichiamo i numeratori e i denominatori:
Numeratore:
$(x+3)(x-2) - x^2 = x^2 + 3x - 2x - 6 - x^2 = x - 6$
Denominatore:
$(x-3)(x+2) - x^2 = x^2 + 2x - 3x - 6 - x^2 = -x - 6$
Quindi la disuguaglianza diventa:
$\frac{x - 6}{-x - 6} < 0$

STEP 6

La frazione è negativa quando il numeratore e il denominatore hanno segni opposti. Determiniamo i segni:
1. $x - 6 > 0$ e $-x - 6 < 0$
2. $x - 6 < 0$ e $-x - 6 > 0$
Risolvendo:
1. $x > 6$ e $x < -6$ (impossibile)
2. $x < 6$ e $x > -6$
L'intervallo valido è:
$-6 < x < 6$

STEP 7

Troviamo l'intersezione degli intervalli $x \leq 1$ e $-6 < x < 6$ :
L'intersezione è:
$-6 < x \leq 1$
La soluzione finale è l'intervallo $\boxed{(-6, 1]}$ .

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