Math / Algebra

Question5. If a savings account offers a nominal interest rate of $3 \%$ per year, compounded every four months, then how many years will it take for a deposit to double in value?
ANS:

Studdy Solution

STEP 1

1. Konto oszczędnościowe oferuje nominalną stopę procentową $3\%$ rocznie.
2. Odsetki są kapitalizowane co cztery miesiące.
3. Chcemy znaleźć, ile lat zajmie podwojenie wartości depozytu.

STEP 2

1. Zdefiniuj zmienne i parametry.
2. Oblicz efektywną stopę procentową dla jednego okresu kapitalizacji.
3. Użyj wzoru na wartość przyszłą z kapitalizacją, aby znaleźć czas potrzebny do podwojenia wartości.
4. Rozwiąż równanie dla liczby okresów kapitalizacji.
5. Przelicz liczbę okresów kapitalizacji na lata.

STEP 3

Zdefiniuj zmienne i parametry.
Niech: - $P$ oznacza początkową wartość depozytu. - $r = 0.03$ oznacza nominalną stopę procentową roczną. - $n = 3$ oznacza liczbę kapitalizacji w ciągu roku (co cztery miesiące). - $A = 2P$ oznacza wartość przyszłą, którą chcemy osiągnąć (podwojenie wartości).

STEP 4

Oblicz efektywną stopę procentową dla jednego okresu kapitalizacji.
Efektywna stopa procentowa dla jednego okresu kapitalizacji wynosi:
$i = \frac{r}{n} = \frac{0.03}{3} = 0.01$

STEP 5

Użyj wzoru na wartość przyszłą z kapitalizacją, aby znaleźć czas potrzebny do podwojenia wartości.
Wzór na wartość przyszłą to:
$A = P \left(1 + i\right)^t$
Podstawiając wartości:
$2P = P \left(1 + 0.01\right)^t$
Uprość równanie:
$2 = (1.01)^t$

STEP 6

Rozwiąż równanie dla liczby okresów kapitalizacji.
Zastosuj logarytm naturalny po obu stronach równania:
$\ln(2) = t \cdot \ln(1.01)$
Rozwiąż dla $t$ :
$t = \frac{\ln(2)}{\ln(1.01)}$
Oblicz wartość $t$ :
$t \approx \frac{0.6931}{0.00995} \approx 69.7$

STEP 7

Przelicz liczbę okresów kapitalizacji na lata.
Ponieważ kapitalizacja odbywa się co cztery miesiące, w ciągu roku mamy 3 okresy kapitalizacji. Dlatego liczba lat wynosi:
$\text{Lata} = \frac{69.7}{3} \approx 23.23$
Ostatecznie, zajmie to około $\boxed{23.23}$ lat, aby depozyt podwoił swoją wartość.

Was this helpful?

Question5. If a savings account offers a nominal interest rate of $3 \%$ per year, compounded every four months, then how many years will it take for a deposit to double in value?
ANS:

Studdy Solution

STEP 1

1. Konto oszczędnościowe oferuje nominalną stopę procentową $3\%$ rocznie.
2. Odsetki są kapitalizowane co cztery miesiące.
3. Chcemy znaleźć, ile lat zajmie podwojenie wartości depozytu.

STEP 2

STEP 3

STEP 4

Oblicz efektywną stopę procentową dla jednego okresu kapitalizacji.
Efektywna stopa procentowa dla jednego okresu kapitalizacji wynosi:
$i = \frac{r}{n} = \frac{0.03}{3} = 0.01$

STEP 5

Użyj wzoru na wartość przyszłą z kapitalizacją, aby znaleźć czas potrzebny do podwojenia wartości.
Wzór na wartość przyszłą to:
$A = P \left(1 + i\right)^t$
Podstawiając wartości:
$2P = P \left(1 + 0.01\right)^t$
Uprość równanie:
$2 = (1.01)^t$

STEP 6

Rozwiąż równanie dla liczby okresów kapitalizacji.
Zastosuj logarytm naturalny po obu stronach równania:
$\ln(2) = t \cdot \ln(1.01)$
Rozwiąż dla $t$ :
$t = \frac{\ln(2)}{\ln(1.01)}$
Oblicz wartość $t$ :
$t \approx \frac{0.6931}{0.00995} \approx 69.7$

STEP 7

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question5. If a savings account offers a nominal interest rate of 3%3 \%3% per year, compounded every four months, then how many years will it take for a deposit to double in value?ANS:

Studdy Solution

STEP 1

1. Konto oszczędnościowe oferuje nominalną stopę procentową 3%3\%3% rocznie.2. Odsetki są kapitalizowane co cztery miesiące.3. Chcemy znaleźć, ile lat zajmie podwojenie wartości depozytu.

STEP 2

STEP 3

STEP 4

Oblicz efektywną stopę procentową dla jednego okresu kapitalizacji.Efektywna stopa procentowa dla jednego okresu kapitalizacji wynosi:i=rn=0.033=0.01 i = \frac{r}{n} = \frac{0.03}{3} = 0.01 i=nr​=30.03​=0.01

STEP 5

STEP 6

STEP 7

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Question5. If a savings account offers a nominal interest rate of $3 \%$ per year, compounded every four months, then how many years will it take for a deposit to double in value?
ANS:

1. Konto oszczędnościowe oferuje nominalną stopę procentową $3\%$ rocznie.
2. Odsetki są kapitalizowane co cztery miesiące.
3. Chcemy znaleźć, ile lat zajmie podwojenie wartości depozytu.

Oblicz efektywną stopę procentową dla jednego okresu kapitalizacji.
Efektywna stopa procentowa dla jednego okresu kapitalizacji wynosi:
$i = \frac{r}{n} = \frac{0.03}{3} = 0.01$