Question56
3. Exkurs: Spurpunkte mit Anwendungen
In diesem Abschnitt werden als exemplarische Anwendungsbeispiele für Geraden Spurpunk, probleme behandell. Die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen bezeichnet man als Spurpunkte der Geraden.
Beispiel: Spurpunkte $$\text { Gegeben sei g: } \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)$$
Bestimmen Sie die Spurpunkte der Ge raden und fertigen Sie eine Skizze an.
Lösung: Der Schnittpunkt der Geraden mit der $x-y$ Ebene wird als Spurpunkt $S_{x y}$ bezeichnet. Er hat die $z$-Koordinate $z=0$. Die $z$-Koordinate des allgemeinen Ge radenpunktes beträgt $z=2-r$. Setzen wir diese 0 , so erhalten wir $r=2$, was auf den Spurpunkt $S_{x y}(4|6| 0)$ führt. $$\begin{array}{l} z=0: \Leftrightarrow 2-r=0 \quad \Leftrightarrow r=2 \\ \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)+2 \cdot\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right) \\ S_{x y}(4|6| 0) \end{array}$$
Analog errechnen wir die weiteren Spurpunkte, indem wir die x-Koordinate bzw. die y-Koordinate des allgemeinen Geradenpunktes null setzen. - Ergebnisse: $S_{y z}(0|2| 4), S_{x z}(-2|0| 6)$
Übung 1 Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g durch A und B. Fertigen Sie eine Skizze an. a) $\mathrm{A}(10|6|-1), \mathrm{B}(4|2| 1)$ b) $\mathrm{A}(-2|4| 9), \mathrm{B}(4|-2| 3)$ c) $\mathrm{A}(4|1| 1), \mathrm{B}(-2|1| 7)$ d) $\mathrm{A}(2|4|-2), \mathrm{B}(-1|-2| 4)$
Übung 2 Geben Sie die Gleichung einer Geradeng an, die nur zwei Spurpunkte bzw. nur einen Spurpunkt besitzt.
Übung 3 In welchen Punkten durchdringen die Kanten der skizzierten Pyramide den 2 m hohen Wasserspiegel?