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STEP 1

1. Das Dreieck ABC ist in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben.
2. Punkt A hat die Koordinaten (3, -2).
3. AB und AC sind als Vektoren gegeben.
4. Der Schwerpunkt S soll berechnet werden.

STEP 2

1. Berechne die Koordinaten von Punkt B.
2. Berechne die Koordinaten von Punkt C.
3. Berechne den Schwerpunkt S.

STEP 3

Berechne die Koordinaten von Punkt B:
B = A + AB
$$B = (3, -2) + (1, 2) = (4, 0)$$

STEP 4

Berechne die Koordinaten von Punkt C:
C = A + AC
$$C = (3, -2) + (-1, 1) = (2, -1)$$

Berechne den Schwerpunkt S:
Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt jede Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, wobei der größere Abschnitt zur Ecke hin liegt. Daher können wir den Schwerpunkt berechnen, indem wir den Mittelwert der Koordinaten aller drei Eckpunkte bilden:
$$S = \frac{1}{3}(A + B + C)$$ $$S = \frac{1}{3}[(3, -2) + (4, 0) + (2, -1)]$$ $$S = \frac{1}{3}[(3+4+2, -2+0-1)]$$ $$S = \frac{1}{3}(9, -3)$$ $$S = (3, -1)$$ Die Koordinaten des Schwerpunkts S sind:
$$\boxed{S(3, -1)}$$