Math Snap

STEP 1

STEP 2

Найдем корни квадратного уравнения $x^{2}+11x+30 = 0$ с помощью формулы корней квадратного уравнения:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ где $a = 1$, $b = 11$, $c = 30$.

STEP 3

Подставим значения в формулу:
$$x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$$ $$x = \frac{-11 \pm \sqrt{1}}{2}$$

STEP 4

Вычислим корни:
$$x = \frac{-11 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = \frac{-11 + 1}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{-11 - 1}{2} = -6$$

STEP 5

Определим интервалы, используя найденные корни $x = -5$ и $x = -6$. Интервалы будут: $(-\infty, -6)$, $(-6, -5)$, $(-5, +\infty)$.

STEP 6

Проверим знаки на каждом из интервалов. Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение $x^2 + 11x + 30$.

STEP 7

Для интервала $(-\infty, -6)$, выберем $x = -7$:
$$(-7)^2 + 11(-7) + 30 = 49 - 77 + 30 = 2$$ Выражение положительно.

STEP 8

Для интервала $(-6, -5)$, выберем $x = -5.5$:
$$(-5.5)^2 + 11(-5.5) + 30 = 30.25 - 60.5 + 30 = -0.25$$ Выражение отрицательно.

STEP 9

Для интервала $(-5, +\infty)$, выберем $x = 0$:
$$0^2 + 11(0) + 30 = 30$$ Выражение положительно.

Запишем решение неравенства, включая точки, где выражение равно нулю:
$$x \in (-\infty, -6] \cup [-5, +\infty)$$ Решение неравенства:
$$\boxed{(-\infty, -6] \cup [-5, +\infty)}$$