Math / Calculus

Question7. Calculate the value of the following limit: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{21}{\ln \left(n^{7}\right)}\right)^{\ln (10 n)}$
ANS:

Studdy Solution

STEP 1

1. Mamy do czynienia z granicą wyrażenia, które przypomina formę $(1 + \frac{a}{b})^b$ .
2. Wartość granicy można oszacować przy pomocy wzoru na granicę wyrażenia $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \rightarrow e$ dla $x \rightarrow \infty$ .

STEP 2

1. Przekształcenie wyrażenia pod granicą.
2. Uproszczenie wyrażenia.
3. Obliczenie granicy.

STEP 3

Najpierw przekształćmy wyrażenie pod granicą. Zauważmy, że:
$\ln(n^7) = 7 \ln(n)$
Podstawmy to do wyrażenia:
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{21}{7 \ln(n)}\right)^{\ln (10 n)}$

STEP 4

Uprośćmy wyrażenie:
$\left(1+\frac{21}{7 \ln(n)}\right)^{\ln (10 n)} = \left(1+\frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln (10 n)}$

STEP 5

Zauważmy, że wyrażenie ma postać $\left(1 + \frac{a}{b}\right)^b$ z $a = 3$ i $b = \ln(n)$ . Dla dużych $n$ , możemy zastosować wzór na granicę:
$\left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)} \rightarrow e^3$
Jednakże, nasze wyrażenie to:
$\left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(10n)} = \left( \left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)} \right)^{\frac{\ln(10n)}{\ln(n)}}$
Zauważmy, że:
$\frac{\ln(10n)}{\ln(n)} = \frac{\ln(10) + \ln(n)}{\ln(n)} = 1 + \frac{\ln(10)}{\ln(n)}$
Dla dużych $n$ , $\frac{\ln(10)}{\ln(n)} \rightarrow 0$ , więc:
$\left( \left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)} \right)^{1 + \frac{\ln(10)}{\ln(n)}} \rightarrow e^3 \cdot e^0 = e^3$
Wartość granicy to:
$\boxed{e^3}$

Was this helpful?

Get Studdy

Scan QR code with your device to get Studdy on iOS or Android

QR code

Studdy solves anything!

Download the app

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Parents Influencer program Contact Policy Terms