Math Snap

STEP 1

1. Mamy do czynienia z granicą wyrażenia, które przypomina formę $(1 + \frac{a}{b})^b$.
2. Wartość granicy można oszacować przy pomocy wzoru na granicę wyrażenia $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \rightarrow e$ dla $x \rightarrow \infty$.

STEP 2

1. Przekształcenie wyrażenia pod granicą.
2. Uproszczenie wyrażenia.
3. Obliczenie granicy.

STEP 3

Najpierw przekształćmy wyrażenie pod granicą. Zauważmy, że:
$$\ln(n^7) = 7 \ln(n)$$ Podstawmy to do wyrażenia:
$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{21}{7 \ln(n)}\right)^{\ln (10 n)}$$

STEP 4

Uprośćmy wyrażenie:
$$\left(1+\frac{21}{7 \ln(n)}\right)^{\ln (10 n)} = \left(1+\frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln (10 n)}$$

Zauważmy, że wyrażenie ma postać $\left(1 + \frac{a}{b}\right)^b$ z $a = 3$ i $b = \ln(n)$. Dla dużych $n$, możemy zastosować wzór na granicę:
$$\left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)} \rightarrow e^3$$ Jednakże, nasze wyrażenie to:
$$\left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(10n)} = \left( \left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)} \right)^{\frac{\ln(10n)}{\ln(n)}}$$ Zauważmy, że:
$$\frac{\ln(10n)}{\ln(n)} = \frac{\ln(10) + \ln(n)}{\ln(n)} = 1 + \frac{\ln(10)}{\ln(n)}$$ Dla dużych $n$, $\frac{\ln(10)}{\ln(n)} \rightarrow 0$, więc:
$$\left( \left(1 + \frac{3}{\ln(n)}\right)^{\ln(n)} \right)^{1 + \frac{\ln(10)}{\ln(n)}} \rightarrow e^3 \cdot e^0 = e^3$$ Wartość granicy to:
$$\boxed{e^3}$$