Math Snap

STEP 1

¿Qué nos están preguntando?
Necesitamos encontrar el valor de $x$ que satisface la ecuación logarítmica dada.
¡Cuidado!
Recuerda las propiedades de los logaritmos, especialmente las relacionadas con la suma y la multiplicación. ¡No olvides verificar si tu solución es válida en el contexto del problema original!

STEP 2

1. Simplificar la ecuación
2. Aplicar propiedades de logaritmos
3. Despejar $x$
4. Verificar la solución

STEP 3

¡Empecemos simplificando!
Sabemos que $\log_{2}(2)$ es igual a 1, ya que 2 elevado a la 1 es igual a 2.
Entonces, nuestra ecuación se convierte en:
$$1 + 2\log_{2}(x-1) = \log_{2}(8)$$

STEP 4

También sabemos que $\log_{2}(8)$ es igual a 3, porque 2 elevado a la 3 es 8. ¡Sustituyamos eso también!
$$1 + 2\log_{2}(x-1) = 3$$

STEP 5

Restemos 1 a ambos lados de la ecuación para aislar el término con el logaritmo. ¡Dividir para llegar a uno!
$$2\log_{2}(x-1) = 3 - 1$$ $$2\log_{2}(x-1) = 2$$

STEP 6

Dividamos ambos lados por 2 para simplificar aún más. ¡Dividir para llegar a uno!
$$\log_{2}(x-1) = \frac{2}{2}$$ $$\log_{2}(x-1) = 1$$

STEP 7

Ahora, usemos la definición de logaritmo: si $\log_{b}(a) = c$, entonces $b^c = a$.
En nuestro caso, tenemos $\log_{2}(x-1) = 1$, lo que significa que $2^1 = x-1$. ¡Genial!

STEP 8

Tenemos $2^1 = x-1$, que se simplifica a $2 = x-1$.
Para despejar $x$, sumamos 1 a ambos lados de la ecuación. ¡Sumar para llegar a cero!
$$x = 2 + 1$$ $$x = 3$$

STEP 9

¡Verifiquemos si $x=3$ funciona en la ecuación original!
Sustituyamos $x=3$ en la ecuación original:
$$\log_{2}(2) + 2\log_{2}(3-1) = \log_{2}(8)$$ $$\log_{2}(2) + 2\log_{2}(2) = \log_{2}(8)$$$$1 + 2 \cdot 1 = 3$$$$1 + 2 = 3$$$$3 = 3$$¡Sí! Nuestra solución es correcta.

La solución es $x = 3$, que corresponde a la opción B.